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Gemini:
好的，我们来依次求解这四个变分问题。
问题 (1)
泛函：
V(y) = ∫₀¹ [(y’)² + 12xy] dx
给定 y(0) = 0, y(1) = 1
1. 求驻值方程 (欧拉 - 拉格朗日方程):
令 F(x, y, y’) = (y’)² + 12xy。
欧拉 - 拉格朗日方程为:
∂F/∂y - d/dx(∂F/∂y’) = 0
计算偏导数:
∂F/∂y = 12x
∂F/∂y’ = 2y’
代入欧拉 - 拉格朗日方程:
12x - d/dx(2y’) = 0
12x - 2y’’ = 0
y’’ = 6x (这就是驻值方程)
2. 解微分方程:
对 y’’ = 6x 积分一次:
y’ = ∫6x dx = 3x² + C₁
再积分一次:
y = ∫(3x² + C₁) dx = x³ + C₁x + C₂
使用边界条件确定常数 C₁ 和 C₂:
- y(0) = 0 => 0³ + C₁(0) + C₂ = 0 => C₂ = 0
- y(1) = 1 => 1³ + C₁(1) + 0 = 1 => 1 + C₁ = 1 => C₁ = 0
解为：y(x) = x³
问题 (2)
泛函：
V(y) = ∫₀^(π/2) [(y’)² - y²] dx
给定 y(0) = 0, y(π/2) = 1
1. 求驻值方程:
令 F(x, y, y’) = (y’)² - y²。
∂F/∂y = -2y
∂F/∂y’ = 2y’
代入欧拉 - 拉格朗日方程:
-2y - d/dx(2y’) = 0
-2y - 2y’’ = 0
y’’ + y = 0 (这就是驻值方程)
2. 解微分方程:
这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。其特征方程为 r² + 1 = 0，解得 r = ±i。
通解为:
y(x) = C₁cos(x) + C₂sin(x)
使用边界条件:
- y(0) = 0 => C₁cos(0) + C₂sin(0) = 0 => C₁ = 0
- y(π/2) = 1 => 0 ⋅ cos(π/2) + C₂sin(π/2) = 1 => C₂ ⋅ 1 = 1 => C₂ = 1
解为：y(x) = sin(x)
问题 (3)
泛函：
V(y) = ∫₀¹ √[1 + (y’)²] dx
给定 y(0) = 0, y(1) = 1
(这个泛函代表从点 (0,0) 到点 (1,1) 的曲线长度)
1. 求驻值方程:
令 F(x, y, y’) = √[1 + (y’)²]。
∂F/∂y = 0
∂F/∂y’ = y’ / √[1 + (y’)²]
代入欧拉 - 拉格朗日方程:
0 - d/dx (y’ / √[1 + (y’)²]) = 0
这意味着:
y’ / √[1 + (y’)²] = C₁ (常数)
2. 解微分方程:
从上式可以解出 y’ 也是一个常数。
(y’)² = C₁²(1 + (y’)²)
(y’)²(1 - C₁²) = C₁²
y’ = C₂ (另一个常数)
对 y’ = C₂ 积分:
y(x) = C₂x + C₃
使用边界条件:
- y(0) = 0 => C₂(0) + C₃ = 0 => C₃ = 0
- y(1) = 1 => C₂(1) + 0 = 1 => C₂ = 1
解为：y(x) = x
(正如预期，两点之间的最短距离是直线。)
问题 (4)
泛函：
V(y) = ∫₁² (xy’² - y) dx
给定 y(1) = 0, y(2) = 1
1. 求驻值方程:
令 F(x, y, y’) = xy’² - y。
∂F/∂y = -1
∂F/∂y’ = 2xy’
代入欧拉 - 拉格朗日方程:
-1 - d/dx(2xy’) = 0
d/dx(2xy’) = -1 (这就是驻值方程)
2. 解微分方程:
对 d/dx(2xy’) = -1 积分一次:
2xy’ = -x + C₁
y’ = -1/2 + C₁/(2x)
再积分一次:
y(x) = ∫[-1/2 + C₁/(2x)] dx = -x/2 + (C₁/2)ln(x) + C₂
为了方便，令 A = C₁/2, B = C₂:
y(x) = -x/2 + A ln(x) + B
使用边界条件:
- y(1) = 0 => -1/2 + A ln(1) + B = 0 => -1/2 + 0 + B = 0 => B = 1/2
- y(2) = 1 => -2/2 + A ln(2) + 1/2 = 1 => -1 + A ln(2) + 1/2 = 1 => A ln(2) = 3/2 => A = 3 / (2 ln(2))
解为：y(x) = -x/2 + [3 / (2 ln 2)] ln(x) + 1/2
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