我们要解决的问题是：如何使用一个在 [0,1] 上服从均匀分布的随机数生成器 random()，来实现从单位圆内均匀采样得到二维坐标 (x, y)？ 要求：不能使用拒绝采样。
思路分析：
我们希望从单位圆内部（即满足 x^2 + y^2 \leq 1 的区域）中均匀地采样点。由于单位圆是一个二维区域，我们可以考虑将其转换为极坐标形式：
其中：
- r \in [0,1] 是到原点的距离（半径）
- \theta \in [0, 2\pi] 是角度
第一步：找出联合分布函数
设 (x, y) 在单位圆上服从均匀分布，则其联合概率密度函数为常数（因为是均匀分布），且在整个单位圆面积上的积分等于 1。
所以：
将该分布转换为极坐标下的联合分布：
其中 J 是雅可比行列式，在极坐标变换下有：
所以：
第二步：求边缘分布
求 f_R(r)
求 f_\Theta(\theta)
这说明：
- R 和 \Theta 是相互独立的随机变量
- \Theta \sim U(0, 2\pi)
- R 的概率密度函数为 f_R(r) = 2r ， r \in [0,1]
第三步：构造反函数进行逆变换采样
我们现在要从这两个分布中采样：
对于 \Theta
因为它是均匀分布在 [0, 2\pi] 上的：
对于 R
它的概率密度函数是 f_R(r) = 2r ，求其累积分布函数（CDF）：
令：
第四步：最终算法步骤
给定一个可以在 [0,1] 上采样的函数 random()，我们可以通过以下步骤从单位圆中均匀采样：
算法步骤如下：
- 用
random()生成两个独立的 [0,1] 均匀分布随机数 u_1, u_2 - 计算：\theta = 2\pi u_1r = \sqrt{u_2}
- 得到笛卡尔坐标：x = r \cos\theta,\quad y = r \sin\theta
这样得到的点 (x, y) 就是从单位圆内均匀采样得到的。
示例代码（Python）
import math
import random
def sample_unit_circle():
u1 = random.random()
u2 = random.random()
theta = 2 * math.pi * u1
r = math.sqrt(u2)
x = r * math.cos(theta)
y = r * math.sin(theta)
return x, y
附：
一、采样问题
假设我们有一个连续型随机变量 X ，它的累积分布函数（CDF）为：
并且该函数是严格单调递增的（即一一对应）。
我们的目标是：
如何使用 [0,1] 上的均匀分布随机数 U(0,1) 来生成服从 F_X(x) 的随机数？
二、逆变换采样原理（Inversion Method）
定理陈述：
设 U \sim U(0,1) 是一个在 [0,1] 上的均匀分布随机变量， F^{-1}(u) 是某个分布函数 F(x) 的反函数，则：
换句话说：
如果你从 [0,1] 均匀分布中取一个随机数 U ，然后计算 F^{-1}(U) ，那么这个值就服从以 F(x) 为 CDF 的分布。
三、证明过程
- 设 U \sim U(0,1) ，且 F(x) 是连续且严格单调递增的。
- 定义 X = F^{-1}(U)
- 我们要计算 X 的分布函数 P(X \leq x)
得证！
四、算法
给定一个目标分布的 CDF F(x) ，若能求出其反函数 F^{-1}(u) ，则可以按以下步骤生成服从该分布的样本：
步骤：
- 从 [0,1] 均匀分布中生成一个随机数 u \sim U(0,1)
- 计算 x = F^{-1}(u)
- 返回 x ，它服从分布 F(x)
