{"topic":{"id":14661,"title":"从单位圆均匀采样","slug":"topic","userId":4668,"categoryId":4,"createdAt":"2025-05-31 11:37:52.576519","bumpedAt":"2025-05-31 12:00:22.702603","views":263,"postsCount":3,"highestPostNumber":3,"likeCount":2,"closed":false,"pinned":false,"pinnedGlobally":false,"pinnedAt":null,"pinnedUntil":null,"isBanner":false,"excerpt":"我们要解决的问题是：如何使用一个在 [0,1] 上服从均匀分布的随机数生成器 random()，来实现从单位圆内均匀采样得到二维坐标 (x, y)？要求：不能使用拒绝采样。 🧠 思路分析：我们希望从单位圆内部（即满足 $ x^2 + y^2 \\leq 1 $ 的区域）中均匀地采样点。由于单位圆是一个二维区域，我们可以考虑将其转换为极坐标形式： x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ x = r \\cos\\theta,\\quad y =…","deletedAt":null,"isAnonymous":false,"isPrivate":false,"isMembersOnly":false,"category":{"id":4,"name":"谈笑风生","slug":"general","color":"25AAE2"},"author":{"id":4668,"username":"IO","name":null,"avatarUrl":null},"realAuthor":{"id":4668,"username":"IO","name":null,"avatarUrl":null},"tags":[]},"posts":[{"id":53888,"postNumber":1,"raw":"我们要解决的问题是：**如何使用一个在 [0,1] 上服从均匀分布的随机数生成器 `random()`，来实现从单位圆内均匀采样得到二维坐标 (x, y)？** 要求：不能使用拒绝采样。\n\n---\n\n## 🧠 思路分析：\n\n我们希望从**单位圆内部**（即满足 $ x^2 + y^2 \\leq 1 $ 的区域）中**均匀地采样点**。由于单位圆是一个二维区域，我们可以考虑将其转换为极坐标形式：\n\n$$\nx = r \\cos\\theta,\\quad y = r \\sin\\theta\n$$\n\n其中：\n- $ r \\in [0,1] $ 是到原点的距离（半径）\n- $ \\theta \\in [0, 2\\pi] $ 是角度\n\n---\n\n## ✅ 第一步：找出联合分布函数\n\n设 $(x, y)$ 在单位圆上服从均匀分布，则其联合概率密度函数为常数（因为是均匀分布），且在整个单位圆面积上的积分等于 1。\n\n所以：\n$$\nf_{X,Y}(x,y) = \\frac{1}{\\pi},\\quad \\text{当 } x^2 + y^2 \\leq 1\n$$\n\n将该分布转换为极坐标下的联合分布：\n\n$$\nf_{R,\\Theta}(r,\\theta) = f_{X,Y}(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta) \\cdot |J|\n$$\n\n其中 $ J $ 是雅可比行列式，在极坐标变换下有：\n$$\n|J| = r\n$$\n\n所以：\n$$\nf_{R,\\Theta}(r,\\theta) = \\frac{1}{\\pi} \\cdot r = \\frac{r}{\\pi},\\quad 0 \\leq r \\leq 1,\\; 0 \\leq \\theta < 2\\pi\n$$\n\n---\n\n## ✅ 第二步：求边缘分布\n\n### 求 $ f_R(r) $\n\n$$\nf_R(r) = \\int_0^{2\\pi} f_{R,\\Theta}(r,\\theta) d\\theta = \\int_0^{2\\pi} \\frac{r}{\\pi} d\\theta = \\frac{r}{\\pi} \\cdot 2\\pi = 2r\n$$\n\n### 求 $ f_\\Theta(\\theta) $\n\n$$\nf_\\Theta(\\theta) = \\int_0^1 f_{R,\\Theta}(r,\\theta) dr = \\int_0^1 \\frac{r}{\\pi} dr = \\frac{1}{\\pi} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2\\pi}\n$$\n\n这说明：\n- $ R $ 和 $ \\Theta $ 是**相互独立**的随机变量\n- $ \\Theta \\sim U(0, 2\\pi) $\n- $ R $ 的概率密度函数为 $ f_R(r) = 2r $，$ r \\in [0,1] $\n\n---\n\n## ✅ 第三步：构造反函数进行逆变换采样\n\n我们现在要从这两个分布中采样：\n\n### 对于 $\\Theta$\n\n因为它是均匀分布在 $[0, 2\\pi]$ 上的：\n\n$$\n\\theta = 2\\pi \\cdot u_1,\\quad u_1 \\sim U(0,1)\n$$\n\n### 对于 $R$\n\n它的概率密度函数是 $ f_R(r) = 2r $，求其累积分布函数（CDF）：\n\n$$\nF_R(r) = \\int_0^r 2t dt = r^2\n$$\n\n令：\n$$\nu_2 = F_R(r) = r^2 \\Rightarrow r = \\sqrt{u_2},\\quad u_2 \\sim U(0,1)\n$$\n\n---\n\n## ✅ 第四步：最终算法步骤\n\n给定一个可以在 [0,1] 上采样的函数 `random()`，我们可以通过以下步骤从单位圆中均匀采样：\n\n### 🧮 算法步骤如下：\n\n1. 用 `random()` 生成两个独立的 [0,1] 均匀分布随机数 $ u_1, u_2 $\n2. 计算：\n $$\n \\theta = 2\\pi u_1\n $$\n $$\n r = \\sqrt{u_2}\n $$\n3. 得到笛卡尔坐标：\n $$\n x = r \\cos\\theta,\\quad y = r \\sin\\theta\n $$\n\n这样得到的点 $ (x, y) $ 就是从单位圆内均匀采样得到的。\n\n---\n\n## ✅ 示例代码（Python）\n\n```python\nimport math\nimport random\n\ndef sample_unit_circle():\n u1 = random.random()\n u2 = random.random()\n theta = 2 * math.pi * u1\n r = math.sqrt(u2)\n x = r * math.cos(theta)\n y = r * math.sin(theta)\n return x, y\n```\n\n---\n\n## 附：\n\n## 🎯 一、采样问题\n\n假设我们有一个连续型随机变量 $ X $，它的累积分布函数（CDF）为：\n\n$$\nF_X(x) = P(X \\leq x)\n$$\n\n并且该函数是**严格单调递增**的（即一一对应）。\n\n我们的目标是： \n👉 **如何使用 [0,1] 上的均匀分布随机数 `U(0,1)` 来生成服从 $ F_X(x) $ 的随机数？**\n\n---\n\n## 🧠 二、逆变换采样原理（Inversion Method）\n\n### ✅ 定理陈述：\n\n设 $ U \\sim U(0,1) $ 是一个在 [0,1] 上的均匀分布随机变量，$ F^{-1}(u) $ 是某个分布函数 $ F(x) $ 的反函数，则：\n\n$$\nX = F^{-1}(U)\n\\Rightarrow X \\sim F(x)\n$$\n\n换句话说：\n> 如果你从 [0,1] 均匀分布中取一个随机数 $ U $，然后计算 $ F^{-1}(U) $，那么这个值就服从以 $ F(x) $ 为 CDF 的分布。\n\n---\n\n## 📐 三、证明过程\n\n\n1. 设 $ U \\sim U(0,1) $，且 $ F(x) $ 是连续且严格单调递增的。\n2. 定义 $ X = F^{-1}(U) $\n3. 我们要计算 $ X $ 的分布函数 $ P(X \\leq x) $\n\n$$\nP(X \\leq x) = P(F^{-1}(U) \\leq x) = P(U \\leq F(x)) = F(x)\n$$\n\n✅ 得证！\n\n---\n\n## 🧮 四、算法\n\n给定一个目标分布的 CDF $ F(x) $，若能求出其反函数 $ F^{-1}(u) $，则可以按以下步骤生成服从该分布的样本：\n\n### 步骤：\n\n1. 从 [0,1] 均匀分布中生成一个随机数 $ u \\sim U(0,1) $\n2. 计算 $ x = F^{-1}(u) $\n3. 返回 $ x $，它服从分布 $ F(x) $\n\n---","cooked":"

我们要解决的问题是：如何使用一个在 [0,1] 上服从均匀分布的随机数生成器 random()，来实现从单位圆内均匀采样得到二维坐标 (x, y)？ 要求：不能使用拒绝采样。

🧠 思路分析：

我们希望从单位圆内部（即满足 $ x^2 + y^2 \\leq 1 $ 的区域）中均匀地采样点。由于单位圆是一个二维区域，我们可以考虑将其转换为极坐标形式：

\nx = r \\cos\\theta,\\quad y = r \\sin\\theta\n

其中：

$ r \\in [0,1] $ 是到原点的距离（半径）
$ \\theta \\in [0, 2\\pi] $ 是角度

✅ 第一步：找出联合分布函数

设 $(x, y)$ 在单位圆上服从均匀分布，则其联合概率密度函数为常数（因为是均匀分布），且在整个单位圆面积上的积分等于 1。

所以：
\n

\nf_{X,Y}(x,y) = \\frac{1}{\\pi},\\quad \\text{当 } x^2 + y^2 \\leq 1\n

将该分布转换为极坐标下的联合分布：

\nf_{R,\\Theta}(r,\\theta) = f_{X,Y}(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta) \\cdot |J|\n

其中 $ J $ 是雅可比行列式，在极坐标变换下有：
\n

\n|J| = r\n

所以：
\n

\nf_{R,\\Theta}(r,\\theta) = \\frac{1}{\\pi} \\cdot r = \\frac{r}{\\pi},\\quad 0 \\leq r \\leq 1,\\; 0 \\leq \\theta \\lt 2\\pi\n

✅ 第二步：求边缘分布

求 $ f_R(r) $

\nf_R(r) = \\int_0^{2\\pi} f_{R,\\Theta}(r,\\theta) d\\theta = \\int_0^{2\\pi} \\frac{r}{\\pi} d\\theta = \\frac{r}{\\pi} \\cdot 2\\pi = 2r\n

求 $ f_\\Theta(\\theta) $

\nf_\\Theta(\\theta) = \\int_0^1 f_{R,\\Theta}(r,\\theta) dr = \\int_0^1 \\frac{r}{\\pi} dr = \\frac{1}{\\pi} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2\\pi}\n

这说明：

$ R $ 和 $ \\Theta $ 是相互独立的随机变量
$ \\Theta \\sim U(0, 2\\pi) $
$ R $ 的概率密度函数为 $ f_R(r) = 2r $，$ r \\in [0,1] $

✅ 第三步：构造反函数进行逆变换采样

我们现在要从这两个分布中采样：

对于 $\\Theta$

因为它是均匀分布在 $[0, 2\\pi]$ 上的：

\n\\theta = 2\\pi \\cdot u_1,\\quad u_1 \\sim U(0,1)\n

对于 $R$

它的概率密度函数是 $ f_R(r) = 2r $，求其累积分布函数（CDF）：

\nF_R(r) = \\int_0^r 2t dt = r^2\n

令：
\n

\nu_2 = F_R(r) = r^2 \\Rightarrow r = \\sqrt{u_2},\\quad u_2 \\sim U(0,1)\n

✅ 第四步：最终算法步骤

给定一个可以在 [0,1] 上采样的函数 random()，我们可以通过以下步骤从单位圆中均匀采样：

🧮 算法步骤如下：

用 random() 生成两个独立的 [0,1] 均匀分布随机数 $ u_1, u_2 $
计算：
\n
$\n\\theta = 2\\pi u_1\n$

\n
$\nr = \\sqrt{u_2}\n$
得到笛卡尔坐标：
\n
$\nx = r \\cos\\theta,\\quad y = r \\sin\\theta\n$

这样得到的点 $ (x, y) $ 就是从单位圆内均匀采样得到的。

✅ 示例代码（Python）

import math\nimport random\n\ndef sample_unit_circle():\n    u1 = random.random()\n    u2 = random.random()\n    theta = 2 * math.pi * u1\n    r = math.sqrt(u2)\n    x = r * math.cos(theta)\n    y = r * math.sin(theta)\n    return x, y\n

附：

🎯 一、采样问题

假设我们有一个连续型随机变量 $ X $，它的累积分布函数（CDF）为：

\nF_X(x) = P(X \\leq x)\n

并且该函数是严格单调递增的（即一一对应）。

我们的目标是：
\n👉 如何使用 [0,1] 上的均匀分布随机数 U(0,1) 来生成服从 $ F_X(x) $ 的随机数？

🧠 二、逆变换采样原理（Inversion Method）

✅ 定理陈述：

设 $ U \\sim U(0,1) $ 是一个在 [0,1] 上的均匀分布随机变量，$ F^{-1}(u) $ 是某个分布函数 $ F(x) $ 的反函数，则：

\nX = F^{-1}(U)\n\\Rightarrow X \\sim F(x)\n

换句话说：

\n
如果你从 [0,1] 均匀分布中取一个随机数 $ U $，然后计算 $ F^{-1}(U) $，那么这个值就服从以 $ F(x) $ 为 CDF 的分布。
\n

📐 三、证明过程

设 $ U \\sim U(0,1) $，且 $ F(x) $ 是连续且严格单调递增的。
定义 $ X = F^{-1}(U) $
我们要计算 $ X $ 的分布函数 $ P(X \\leq x) $

\nP(X \\leq x) = P(F^{-1}(U) \\leq x) = P(U \\leq F(x)) = F(x)\n

✅ 得证！

🧮 四、算法

给定一个目标分布的 CDF $ F(x) $，若能求出其反函数 $ F^{-1}(u) $，则可以按以下步骤生成服从该分布的样本：

步骤：

从 [0,1] 均匀分布中生成一个随机数 $ u \\sim U(0,1) $
计算 $ x = F^{-1}(u) $
返回 $ x $，它服从分布 $ F(x) $

\n","createdAt":"2025-05-31 11:37:52.770327","updatedAt":"2025-05-31 11:37:52.770327","replyToPostNumber":null,"replyCount":0,"likeCount":2,"wordCount":1143,"liked":false,"bookmarked":false,"polls":[],"reactions":[{"reaction":"👍️","count":1,"users":[{"id":30,"username":"一只玉米人","name":"玉米🌽"}],"hasReacted":false},{"reaction":"❤️","count":2,"users":[{"id":30,"username":"一只玉米人","name":"玉米🌽"},{"id":1886,"username":"dCosmos","name":"i-BuProfen"}],"hasReacted":false}],"wiki":false,"version":1,"publicVersion":1,"deletedAt":null,"foldedAt":null,"isAnonymous":false,"isOwner":false,"user":{"id":4668,"username":"IO","name":null,"avatarUrl":null,"admin":true,"moderator":false,"signatureRaw":"","signatureCooked":null}},{"id":53890,"postNumber":2,"raw":"## QA\n- Q: 为什么要从 $x, y$ 变换为极坐标\n- A: 分布关于 $x,y$ 不独立，但关于 $ r, \\theta $ 是独立的\n\n- Q: 如果不开根号会怎么样？即按照 $r \\sim U(0,1), \\theta \\sim U(0,2 \\pi)$ 的方式计算出坐标\n- A: 会使得采样出的点更集中在原点附近，参考 [文章](https://zhuanlan.zhihu.com/p/597530656) 的实验结果：\n\n![image|689x304](/uploads/image/e7/86/e786d489d8fffd7a0a0b48ed87696ebdec9890d44b367b066852513be4ff22d8.avif)\n错误的采样\n\n理论分析：\n$$\nf_{X,Y}(x,y) = \\frac{1}{2\\pi \\sqrt{x^2 + y^2}},\\quad x^2 + y^2 \\leq 1\n$$\n\n这说明：\n- 分布不是常数，而是随 $ r = \\sqrt{x^2 + y^2} $ 变化\n- 越靠近原点（即 $ r \\rightarrow 0 $ ），密度越大\n- 所以：**点集中在圆心附近**\n\n\n---\n\n![image|690x318](/uploads/image/14/52/1452b0a8bbf10df894742bcc7a2385acff0b5c19a1d03994f45dbe9ccb373bfb.avif)\n正确的采样","cooked":"

QA

\n
Q: 为什么要从 $x, y$ 变换为极坐标
\n
\n
A: 分布关于 $x,y$ 不独立，但关于 $ r, \\theta $ 是独立的
\n
\n
Q: 如果不开根号会怎么样？即按照 $r \\sim U(0,1), \\theta \\sim U(0,2 \\pi)$ 的方式计算出坐标
\n
\n
A: 会使得采样出的点更集中在原点附近，参考文章的实验结果：
\n

$\"image\"$
\n错误的采样

理论分析：
\n

\nf_{X,Y}(x,y) = \\frac{1}{2\\pi \\sqrt{x^2 + y^2}},\\quad x^2 + y^2 \\leq 1\n

这说明：

分布不是常数，而是随 $ r = \\sqrt{x^2 + y^2} $ 变化
越靠近原点（即 $ r \\rightarrow 0 $ ），密度越大
所以：点集中在圆心附近

$\"image\"$
\n正确的采样

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练习题：从单位球均匀采样。请给出理论分析、代码、实验截图。

\n","createdAt":"2025-05-31 12:00:22.702603","updatedAt":"2025-05-31 12:00:22.702603","replyToPostNumber":null,"replyCount":0,"likeCount":0,"wordCount":29,"liked":false,"bookmarked":false,"polls":[],"reactions":[],"wiki":false,"version":1,"publicVersion":1,"deletedAt":null,"foldedAt":null,"isAnonymous":false,"isOwner":false,"user":{"id":4668,"username":"IO","name":null,"avatarUrl":null,"admin":true,"moderator":false,"signatureRaw":"","signatureCooked":null}}],"hasMore":false,"lastReadPostNumber":1,"hasUrlPostNumber":false}

🧠 思路分析：

✅ 第一步：找出联合分布函数

✅ 第二步：求边缘分布

求 $ f_R(r) $

求 $ f_\\Theta(\\theta) $

✅ 第三步：构造反函数进行逆变换采样

对于 Θ\\ThetaΘ

对于 RRR

✅ 第四步：最终算法步骤

🧮 算法步骤如下：

✅ 示例代码（Python）

附：

🎯 一、采样问题

🧠 二、逆变换采样原理（Inversion Method）

✅ 定理陈述：

📐 三、证明过程

🧮 四、算法

步骤：

QA

对于 $\\Theta$

对于 $R$