（已解决）求解不定积分

$\displaystyle \int \dfrac{1+\cos{x}}{1+\sin^2{x}}~\mathrm{d}x$

该不定积分如何计算？看了看 ggb 和 mathematica 的结果，有些复杂，不太像大一能写的

感谢门友相助，已解决（但是没找到“解决方案”按钮），下面梳理一下思路

1. 取代换 $t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$，得到一个有理函数的不定积分
2. 对于分母中的二次三项式 $x^2+px+q$，可先配方得 $\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2-\dfrac{p^2}{4}+q$，再由平方差公式进一步化简，得到两个分式（打完才想起来 $x$ 用过了，懒得改了）
3. 最后查表并化简

最终结果（如果我没算错的话）：$\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\arctan\left(\dfrac{\tan\dfrac{x}{2}}{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}\right)-\sqrt{3-2\sqrt{2}}\arctan\left(\dfrac{\tan\dfrac{x}{2}}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}\right)\right)}{2}$

纯三角函数 找基频 这里都化成了 x/2 然后就转换成了有理函数的积分 这是有固定套路的

就是取 $t = \tan{\left(\dfrac{x}{2}\right)}$，对吗？

https://baike.baidu.com/item/正切半角公式/22781837

搜索 Weierstrass substitution 有很多教程

例如 https://math24.net/weierstrass-substitution.html

非常感谢