{"topic":{"id":14110,"title":"PHYS316509-量子力学","slug":"topic","categoryId":13,"createdAt":"2025-01-05 19:47:25.215033","bumpedAt":"2025-02-02 07:35:37.41076","views":262,"postsCount":2,"highestPostNumber":2,"likeCount":9,"closed":false,"pinned":false,"pinnedGlobally":false,"pinnedAt":null,"pinnedUntil":null,"isBanner":false,"excerpt":"课程：PHYS316509-量子力学教材：张盈量子力学基本原理 [M] 西安：西安交通大学出版社，2023 教师：张盈学分：5.0 授课学时：80.0 开课单位：物理学院考试类型：闭卷大三上开课。成绩构成：平时 30%、期中 30%、期末 40%。平时成绩由随堂测试、作业、讨论等构成。安排 3 次随堂测试，2 次电子作业。 zy 老师上课重概念理解，轻数学运算，授课时常结合高能物理应用。作业很少，部分题有难度。本科生只…","deletedAt":null,"isAnonymous":false,"category":{"id":13,"name":"学习资料","slug":"res","color":"FFBB00"},"author":{"id":79,"username":"Charles_Xavier","name":null,"avatarUrl":"/uploads/image/92/0e/920e57ed0af596c8489d44a4097d5aa8e158b4000fde6014a2d20ebeaa1aa97c.avif"},"tags":["resources","study","review","course"]},"posts":[{"id":45217,"postNumber":1,"raw":"> 课程：PHYS316509-量子力学\n教材：张盈量子力学基本原理 [M] 西安：西安交通大学出版社，2023\n教师：张盈\n学分：5.0\n授课学时：80.0\n开课单位：物理学院\n考试类型：闭卷\n\n* 大三上开课。\n* 成绩构成：平时 30%、期中 30%、期末 40%。平时成绩由随堂测试、作业、讨论等构成。\n* 安排 3 次随堂测试，2 次电子作业。\n* zy 老师上课重概念理解，轻数学运算，授课时常结合高能物理应用。\n* 作业很少，部分题有难度。\n* 本科生只学习初量。\n\n# 读书心得\n\n学习量子力学时，应广泛阅读和对比不同书籍。下面对读过的部分书做一评论。\n\n个人钟情曾谨言的书，行文如其名，论述严谨，语言简明，既有深度，又有广度，写得十分标准，是国内经典教科书。卷一大致对应初等量子力学部分，卷二大致对应高等量子力学部分。学习时只挑拣需要的章节阅读即可。后续可以作为字典时时回顾。\n\n对于初等量子力学：\n* Griffith 的《量子力学概论》行文流畅，最为易懂，是国外经典教科书。用最简单的语言讲出最深刻的原理，数学推导详尽，物理图像清晰，部分习题经典。初次学习阅读是比较好的。\n* 田光善的量子力学讲义大致以曾书为框架，编写完善，推导更详细，论述更清晰。配以 B 站网课，个人尤其推荐表象变换和对称性的部分，讲授非常清晰，无出其右。\n* zy 的这本《量子力学基本原理》是一本新书，有些许错讹，基本原理部分的论述很清楚，有一些地方的数学处理不清楚。听说这本书是为下一届准备的，到那时这门课的学时就改为了 64 学时，所以书中不包含变分法和 WKB 近似部分。总体来说内容比较全面，但不是非常深入。\n\n对于高等量子力学：\n* Sakurai 的《现代量子力学》结构完善，难度不算大，用作从初等向高等的过渡很合适。个人感觉稍啰嗦一点，看得不多。\n* 田光善的高等量子力学讲义大致以曾书为框架，给出了最为详细的数学推导和各种数学技巧，尤其是二次量子化和角动量理论部分，后面群论在量子力学中的应用同样深入浅出，重点突出，最为实用。\n* 喀兴林的《高等量子力学》比较老，但是论述得比较清晰且细致，尤其是散射和二次量子化部分，有不懂的可以来看一下。\n* 闫学群的《高等量子力学》不同于传统高量教材，侧重于量子光学和量子信息，对量子纠缠、量子测量、量子开放系统理论进行了详细的论述，简明而实用。\n\n对于量子光学：\n* Scully 的《量子光学》是最经典的教材，结构清晰，最为标准。\n* 郭光灿的《量子光学》有更多的数学推导，内容更丰富些，但是有些地方跳跃性较大。应注意本书对压缩态的定义不同于 Scully，并且对量子分布理论的论述较少。\n\n以上仁者见仁，智者见智。\n\n# 2025.1.5 期末考试回忆\n\n一、简答题（6×8=48）\n1. 简述使用量子力学原理讨论氢分子稳定性的思路。\n2. WKB 近似的适用条件为何？写出非经典区域中波函数的形式。\n3. Born 近似和 Lippmann-Schwinger 方程的关系是什么？写出 Born 近似散射振幅的表达式。\n4. 从 Schrodinger 方程出发推导 Lippmann-Schwinger 方程。\n5. 用非简并微扰论处理简并微扰论的困难何在？正确的做法是什么？\n6. 简述使用半经典近似处理光的受激吸收和辐射的思路。“半经典”是什么意思？\n7. 简述厄米算符的性质和可观测物理量的性质之间的对应关系。\n8. 分波法中相移 $\\delta_l$ 的物理意义是什么（是什么波的相位移动）？\n\n二、计算题（52）\n1. 从一维无限深方势阱出发，推导：（12）\n- 能量本征波函数；\n- 能级；\n- 粒子运动的含时波函数。\n\n2. 推导非简并微扰论的能量一级修正和波函数一级修正公式。（12）\n\n3. 计算下面 Heisenberg 绘景中算符的时间演化 $\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t}\\hat{A}_H(t)$ ：（12）\n$$\n\\hat{A}_H(t) = \\mathrm{e}^{\\frac{\\mathrm{i}}{\\hbar}\\hat{H}t}\\hat{A}_S\\mathrm{e}^{-\\frac{\\mathrm{i}}{\\hbar}\\hat{H}t}\n$$\n4. 根据谐振子产生湮灭算符的定义：（16）\n$$\n\\hat{a}^\\dagger = \\frac{1}{\\sqrt{2\\hbar m\\omega}}(m\\omega\\hat{x} - \\mathrm{i}\\hat{p}),\\quad \\hat{a} = \\frac{1}{\\sqrt{2\\hbar m\\omega}}(m\\omega\\hat{x} + \\mathrm{i}\\hat{p})\n$$\n- 计算对易关系 $[\\hat{a},\\hat{a}^\\dagger],\\ [\\hat{H},\\hat{a}],\\ [\\hat{H},\\hat{a}^\\dagger]$，说明 $\\hat{a}|n\\rangle$ 和 $\\hat{a}^\\dagger|n\\rangle$ 的物理意义；\n- 证明：\n$$\n\\hat{a}|n\\rangle = \\sqrt{n}|n-1\\rangle,\\quad\n\\hat{a}^\\dagger|n\\rangle = \\sqrt{n+1}|n+1\\rangle\n$$\n- 计算：\n$$\n\\hat{x}|n\\rangle,\\quad\n\\hat{p}|n\\rangle\n$$\n- 计算第 $n$ 激发态的位置不确定度和动量不确定度，验证不确定关系。\n\n> **试题简评**\n简单，注重物理理解。简答题要求对细节足够熟悉。计算题白给。\n\n# 量子力学笔记\n[Quantum_Mechanics.pdf|attachment](/uploads/pdf/1e/85/1e8510406d6b4f3f3bfa4383014ea9339f622c1e4d3744aac7618ea8e6411851.pdf) (1.1 MB)\n1-10 章大致对应初量，11-17 章大致对应高量，18-23 章大致对应量光。\n本笔记为第一版，有些内容未涉及，如路径积分、相对论量子力学等。\n\n# 电子作业\n## 一、自由粒子波函数的演化\n```MATLAB\nclear; close all; clc;\n\nhbar = 1; \nm = 1; \na = 1; \nL = 100; % 积分限\nN_x = 400; % x 采样数\nN_t = 200; % t 采样数\nx_min = -10; \nx_max = 10; \nt_min = 0; \nt_max = 5; \n\n% 定义空间和时间范围\nx_values = linspace(x_min, x_max, N_x);\nt_values = linspace(t_min, t_max, N_t);\n\n% 预分配模方数组\npsi_square = zeros(N_x, N_t);\n\n\n% MATLAB 的 integral 函数无法直接处理复数，分开处理实部和虚部\nintegrand_r = @(k, x, t) (1/sqrt(pi*a)) .* (sin(k*a) ./ k) .* cos(k*x - (hbar*k.^2/(2*m)) * t);\nintegrand_i = @(k, x, t) (1/sqrt(pi*a)) .* (sin(k*a) ./ k) .* sin(k*x - (hbar*k.^2/(2*m)) * t);\n\n% 循环计算每个时间点的波函数模方\nfor ti = 1 : N_t\n t = t_values(ti);\n fprintf('计算时间点 t = %.3f / %.3f\\n', t, t_max);\n % 对每个 x 计算积分\n for xi = 1 : N_x\n x = x_values(xi);\n Re = integral(@(k) integrand_r(k, x, t), -L, L, 'AbsTol',1e-10,'RelTol',1e-8);\n Im = integral(@(k) integrand_i(k, x, t), -L, L, 'AbsTol',1e-10,'RelTol',1e-8);\n psi = (1/sqrt(2*pi)) * (Re + 1i*Im);\n psi_square(xi, ti) = abs(psi)^2;\n end\nend\n\n% 创建动画\nfigure;\nh = plot(x_values, psi_square(:,1), 'b', 'LineWidth', 2);\nxlabel('x');\nylabel('|\\psi(x,t)|^2');\ntitle('Time Evolution of Free Patical');\ngrid on;\nylim([0, max(psi_square(:)) * 1.1]); % 动态调整 y 轴范围\n\n% 初始化视频写入对象\nv = VideoWriter('wave_function_evolution.mp4','MPEG-4');\nv.FrameRate = 30; % 设置帧率\nopen(v);\n\n% 循环生成每一帧\nfor ti = 1:N_t\n set(h, 'YData', psi_square(:,ti));\n title(sprintf('Time Evolution of Free Patical (t = %.2f)', t_values(ti)));\n drawnow;\n % 捕获当前帧\n frame = getframe(gcf);\n writeVideo(v, frame);\nend\n\n% 关闭视频写入对象\nclose(v);\n\ndisp('动画已保存为 wave_function_evolution.mp4');\n\n% 播放生成的视频\nimplay('wave_function_evolution.mp4');\n```\n\n## 二：氢原子 $|\\psi_{210}(r,\\theta,\\varphi)|^2$ 染色\n$$\nR_{21}(r) = \\frac{1}{a\\sqrt{6}a^{3/2}}\\frac{r}{a}\\mathrm{e}^{-\\frac{r}{2a}}\n$$\n$$\nY_{10}(\\theta,\\varphi) = \\sqrt{\\frac{3}{4\\pi}}\\cos{\\theta}\n$$\n$$\n\\psi_{210}(r,\\theta,\\varphi) = R_{21}(r)Y_{10} = \\frac{1}{4\\sqrt{2\\pi}a^{3/2}}\\frac{r}{a}\\mathrm{e}^{-\\frac{r}{2a}}\\cos{\\theta}\n$$\n```Python\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\nfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D\n\n# Bhor 半径\na = 5.29e-11 # 单位：米\n\n# 球坐标网格\nr = np.linspace(0, 4 * a, 100) # 径向距离（单位：米）\ntheta = np.linspace(0, np.pi, 100) # 极角范围 0 到 pi\nphi = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100) # 方位角范围 0 到 2pi\n\n# 网格化\nr, theta, phi = np.meshgrid(r, theta, phi)\n\n# 波函数模方 |\\Psi_{210}(r, θ, φ)|^2\npsi_square = (1 / (32 * np.pi) * a**3) * (r**2 / a**2) * np.exp(-r / a) * np.cos(theta)**2\n\n# 转换为直角坐标系\nx = r * np.sin(theta) * np.cos(phi)\ny = r * np.sin(theta) * np.sin(phi)\nz = r * np.cos(theta)\n\n# 绘制三维图\nfig = plt.figure(figsize=(8, 6))\nax = fig.add_subplot(111, projection='3d')\n\n# 使用概率密度值来设定颜色\nsc = ax.scatter(x, y, z, c=psi_square, cmap='viridis', marker='o', s=1)\n\n# 添加颜色条\ncbar = fig.colorbar(sc, ax=ax, pad=0.1)\ncbar.set_label(\"Electron occurrence Probability density\")\n\nax.set_xlabel('X')\nax.set_ylabel('Y')\nax.set_zlabel('Z')\nax.set_title('Electron cloud diagram $\\Psi_{210}$')\n\n# 调整布局，避免颜色条挡住标签\nfig.subplots_adjust(right=1.5)\n\n# 显示图像\nplt.show()\n```\n![image|637x500](/uploads/image/23/27/232732133573d47136ae9f000828129e7e6bcc116d19b9785533661c476fc2a0.avif)\n为了方便观察，只选择大于 0.6 倍最大概率的部分进行染色，如下图。与教科书上图形一致。\n```Python\n# 设置阈值：选择最大概率密度的某个百分比作为阈值\nthreshold = 0.6\nmax_psi_square = np.max(psi_square)\nmask = psi_square > threshold * max_psi_square\n\n# 提取符合条件的 x, y, z 坐标\nx = r[mask] * np.sin(theta[mask]) * np.cos(phi[mask])\ny = r[mask] * np.sin(theta[mask]) * np.sin(phi[mask])\nz = r[mask] * np.cos(theta[mask])\n\n# 获取颜色条的 vmin 和 vmax，用于确保两幅图使用相同的颜色映射范围\nvmin = np.min(psi_square)\nvmax = np.max(psi_square)\n\n# 创建第二幅图：显示阈值筛选后的电子云\nfig2 = plt.figure(figsize=(8, 6))\nax2 = fig2.add_subplot(111, projection='3d')\nsc2 = ax2.scatter(x, y, z, c=psi_square[mask], cmap='viridis', marker='o', s=1, vmin=vmin, vmax=vmax)\n\n# 设置颜色条范围与第一幅图相同\ncbar2 = fig2.colorbar(sc2, ax=ax2, pad=0.1)\ncbar2.set_label(\"Electron occurrence Probability density\")\n\nax2.set_xlabel('X')\nax2.set_ylabel('Y')\nax2.set_zlabel('Z')\nax2.set_title('Electron cloud diagram $\\Psi_{210}$ (Thresholded)')\n\n# 显示图像\nplt.show()\n```\n![image|590x500](/uploads/image/b1/63/b163e6969bc6b20809d0cf593f478e0663debde85d19e1f8a427570affa61824.avif)\n\n真是神清气爽:hooray:","cooked":"

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课程：PHYS316509-量子力学
\n教材：张盈量子力学基本原理 [M] 西安：西安交通大学出版社，2023
\n教师：张盈
\n学分：5.0
\n授课学时：80.0
\n开课单位：物理学院
\n考试类型：闭卷
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大三上开课。
成绩构成：平时 30%、期中 30%、期末 40%。平时成绩由随堂测试、作业、讨论等构成。
安排 3 次随堂测试，2 次电子作业。
zy 老师上课重概念理解，轻数学运算，授课时常结合高能物理应用。
作业很少，部分题有难度。
本科生只学习初量。

读书心得

学习量子力学时，应广泛阅读和对比不同书籍。下面对读过的部分书做一评论。

个人钟情曾谨言的书，行文如其名，论述严谨，语言简明，既有深度，又有广度，写得十分标准，是国内经典教科书。卷一大致对应初等量子力学部分，卷二大致对应高等量子力学部分。学习时只挑拣需要的章节阅读即可。后续可以作为字典时时回顾。

对于初等量子力学：

Griffith 的《量子力学概论》行文流畅，最为易懂，是国外经典教科书。用最简单的语言讲出最深刻的原理，数学推导详尽，物理图像清晰，部分习题经典。初次学习阅读是比较好的。
田光善的量子力学讲义大致以曾书为框架，编写完善，推导更详细，论述更清晰。配以 B 站网课，个人尤其推荐表象变换和对称性的部分，讲授非常清晰，无出其右。
zy 的这本《量子力学基本原理》是一本新书，有些许错讹，基本原理部分的论述很清楚，有一些地方的数学处理不清楚。听说这本书是为下一届准备的，到那时这门课的学时就改为了 64 学时，所以书中不包含变分法和 WKB 近似部分。总体来说内容比较全面，但不是非常深入。

对于高等量子力学：

Sakurai 的《现代量子力学》结构完善，难度不算大，用作从初等向高等的过渡很合适。个人感觉稍啰嗦一点，看得不多。
田光善的高等量子力学讲义大致以曾书为框架，给出了最为详细的数学推导和各种数学技巧，尤其是二次量子化和角动量理论部分，后面群论在量子力学中的应用同样深入浅出，重点突出，最为实用。
喀兴林的《高等量子力学》比较老，但是论述得比较清晰且细致，尤其是散射和二次量子化部分，有不懂的可以来看一下。
闫学群的《高等量子力学》不同于传统高量教材，侧重于量子光学和量子信息，对量子纠缠、量子测量、量子开放系统理论进行了详细的论述，简明而实用。

对于量子光学：

Scully 的《量子光学》是最经典的教材，结构清晰，最为标准。
郭光灿的《量子光学》有更多的数学推导，内容更丰富些，但是有些地方跳跃性较大。应注意本书对压缩态的定义不同于 Scully，并且对量子分布理论的论述较少。

以上仁者见仁，智者见智。

2025.1.5 期末考试回忆

一、简答题（6×8=48）

简述使用量子力学原理讨论氢分子稳定性的思路。
WKB 近似的适用条件为何？写出非经典区域中波函数的形式。
Born 近似和 Lippmann-Schwinger 方程的关系是什么？写出 Born 近似散射振幅的表达式。
从 Schrodinger 方程出发推导 Lippmann-Schwinger 方程。
用非简并微扰论处理简并微扰论的困难何在？正确的做法是什么？
简述使用半经典近似处理光的受激吸收和辐射的思路。“半经典”是什么意思？
简述厄米算符的性质和可观测物理量的性质之间的对应关系。
分波法中相移 $\\delta_l$ 的物理意义是什么（是什么波的相位移动）？

二、计算题（52）

从一维无限深方势阱出发，推导：（12）

能量本征波函数；
能级；
粒子运动的含时波函数。

\n
推导非简并微扰论的能量一级修正和波函数一级修正公式。（12）
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\n
计算下面 Heisenberg 绘景中算符的时间演化 $\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t}\\hat{A}_H(t)$ ：（12）
\n
$\n\\hat{A}_H(t) = \\mathrm{e}^{\\frac{\\mathrm{i}}{\\hbar}\\hat{H}t}\\hat{A}_S\\mathrm{e}^{-\\frac{\\mathrm{i}}{\\hbar}\\hat{H}t}\n$
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根据谐振子产生湮灭算符的定义：（16）
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$\n\\hat{a}^\\dagger = \\frac{1}{\\sqrt{2\\hbar m\\omega}}(m\\omega\\hat{x} - \\mathrm{i}\\hat{p}),\\quad \\hat{a} = \\frac{1}{\\sqrt{2\\hbar m\\omega}}(m\\omega\\hat{x} + \\mathrm{i}\\hat{p})\n$
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计算对易关系 $[\\hat{a},\\hat{a}^\\dagger],\\ [\\hat{H},\\hat{a}],\\ [\\hat{H},\\hat{a}^\\dagger]$ ，说明 $\\hat{a}|n\\rangle$ 和 $\\hat{a}^\\dagger|n\\rangle$ 的物理意义；
证明：
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$\n\\hat{a}|n\\rangle = \\sqrt{n}|n-1\\rangle,\\quad\n\\hat{a}^\\dagger|n\\rangle = \\sqrt{n+1}|n+1\\rangle\n$
计算：
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$\n\\hat{x}|n\\rangle,\\quad\n\\hat{p}|n\\rangle\n$
计算第 $n$ 激发态的位置不确定度和动量不确定度，验证不确定关系。

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试题简评
\n简单，注重物理理解。简答题要求对细节足够熟悉。计算题白给。
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量子力学笔记

Quantum_Mechanics.pdf|attachment (1.1 MB)
\n1-10 章大致对应初量，11-17 章大致对应高量，18-23 章大致对应量光。
\n本笔记为第一版，有些内容未涉及，如路径积分、相对论量子力学等。

电子作业

一、自由粒子波函数的演化

clear; close all; clc;\n\nhbar = 1;      \nm = 1;         \na = 1;         \nL = 100;       % 积分限\nN_x = 400;     % x 采样数\nN_t = 200;     % t 采样数\nx_min = -10;   \nx_max = 10;    \nt_min = 0;     \nt_max = 5;     \n\n% 定义空间和时间范围\nx_values = linspace(x_min, x_max, N_x);\nt_values = linspace(t_min, t_max, N_t);\n\n% 预分配模方数组\npsi_square = zeros(N_x, N_t);\n\n\n% MATLAB 的 integral 函数无法直接处理复数，分开处理实部和虚部\nintegrand_r = @(k, x, t) (1/sqrt(pi*a)) .* (sin(k*a) ./ k) .* cos(k*x - (hbar*k.^2/(2*m)) * t);\nintegrand_i = @(k, x, t) (1/sqrt(pi*a)) .* (sin(k*a) ./ k) .* sin(k*x - (hbar*k.^2/(2*m)) * t);\n\n% 循环计算每个时间点的波函数模方\nfor ti = 1 : N_t\n    t = t_values(ti);\n    fprintf('计算时间点 t = %.3f / %.3f\\n', t, t_max);\n    % 对每个 x 计算积分\n    for xi = 1 : N_x\n        x = x_values(xi);\n        Re = integral(@(k) integrand_r(k, x, t), -L, L, 'AbsTol',1e-10,'RelTol',1e-8);\n        Im = integral(@(k) integrand_i(k, x, t), -L, L, 'AbsTol',1e-10,'RelTol',1e-8);\n        psi = (1/sqrt(2*pi)) * (Re + 1i*Im);\n        psi_square(xi, ti) = abs(psi)^2;\n    end\nend\n\n% 创建动画\nfigure;\nh = plot(x_values, psi_square(:,1), 'b', 'LineWidth', 2);\nxlabel('x');\nylabel('|\\psi(x,t)|^2');\ntitle('Time Evolution of Free Patical');\ngrid on;\nylim([0, max(psi_square(:)) * 1.1]); % 动态调整 y 轴范围\n\n% 初始化视频写入对象\nv = VideoWriter('wave_function_evolution.mp4','MPEG-4');\nv.FrameRate = 30; % 设置帧率\nopen(v);\n\n% 循环生成每一帧\nfor ti = 1:N_t\n    set(h, 'YData', psi_square(:,ti));\n    title(sprintf('Time Evolution of Free Patical (t = %.2f)', t_values(ti)));\n    drawnow;\n    % 捕获当前帧\n    frame = getframe(gcf);\n    writeVideo(v, frame);\nend\n\n% 关闭视频写入对象\nclose(v);\n\ndisp('动画已保存为 wave_function_evolution.mp4');\n\n% 播放生成的视频\nimplay('wave_function_evolution.mp4');\n

二：氢原子 $|\\psi_{210}(r,\\theta,\\varphi)|^2$ 染色

\nR_{21}(r) = \\frac{1}{a\\sqrt{6}a^{3/2}}\\frac{r}{a}\\mathrm{e}^{-\\frac{r}{2a}}\n

\nY_{10}(\\theta,\\varphi) = \\sqrt{\\frac{3}{4\\pi}}\\cos{\\theta}\n

\n\\psi_{210}(r,\\theta,\\varphi) = R_{21}(r)Y_{10} = \\frac{1}{4\\sqrt{2\\pi}a^{3/2}}\\frac{r}{a}\\mathrm{e}^{-\\frac{r}{2a}}\\cos{\\theta}\n

import numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\nfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D\n\n# Bhor 半径\na = 5.29e-11  # 单位：米\n\n# 球坐标网格\nr = np.linspace(0, 4 * a, 100)  # 径向距离（单位：米）\ntheta = np.linspace(0, np.pi, 100)  # 极角范围 0 到 pi\nphi = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)  # 方位角范围 0 到 2pi\n\n# 网格化\nr, theta, phi = np.meshgrid(r, theta, phi)\n\n# 波函数模方 |\\Psi_{210}(r, θ, φ)|^2\npsi_square = (1 / (32 * np.pi) * a**3) * (r**2 / a**2) * np.exp(-r / a) * np.cos(theta)**2\n\n# 转换为直角坐标系\nx = r * np.sin(theta) * np.cos(phi)\ny = r * np.sin(theta) * np.sin(phi)\nz = r * np.cos(theta)\n\n# 绘制三维图\nfig = plt.figure(figsize=(8, 6))\nax = fig.add_subplot(111, projection='3d')\n\n# 使用概率密度值来设定颜色\nsc = ax.scatter(x, y, z, c=psi_square, cmap='viridis', marker='o', s=1)\n\n# 添加颜色条\ncbar = fig.colorbar(sc, ax=ax, pad=0.1)\ncbar.set_label(\"Electron occurrence Probability density\")\n\nax.set_xlabel('X')\nax.set_ylabel('Y')\nax.set_zlabel('Z')\nax.set_title('Electron cloud diagram $\\Psi_{210}\n![image|637x500](/uploads/image/23/27/232732133573d47136ae9f000828129e7e6bcc116d19b9785533661c476fc2a0.avif)\n为了方便观察，只选择大于 0.6 倍最大概率的部分进行染色，如下图。与教科书上图形一致。\n```Python\n# 设置阈值：选择最大概率密度的某个百分比作为阈值\nthreshold = 0.6\nmax_psi_square = np.max(psi_square)\nmask = psi_square > threshold * max_psi_square\n\n# 提取符合条件的 x, y, z 坐标\nx = r[mask] * np.sin(theta[mask]) * np.cos(phi[mask])\ny = r[mask] * np.sin(theta[mask]) * np.sin(phi[mask])\nz = r[mask] * np.cos(theta[mask])\n\n# 获取颜色条的 vmin 和 vmax，用于确保两幅图使用相同的颜色映射范围\nvmin = np.min(psi_square)\nvmax = np.max(psi_square)\n\n# 创建第二幅图：显示阈值筛选后的电子云\nfig2 = plt.figure(figsize=(8, 6))\nax2 = fig2.add_subplot(111, projection='3d')\nsc2 = ax2.scatter(x, y, z, c=psi_square[mask], cmap='viridis', marker='o', s=1, vmin=vmin, vmax=vmax)\n\n# 设置颜色条范围与第一幅图相同\ncbar2 = fig2.colorbar(sc2, ax=ax2, pad=0.1)\ncbar2.set_label(\"Electron occurrence Probability density\")\n\nax2.set_xlabel('X')\nax2.set_ylabel('Y')\nax2.set_zlabel('Z')\nax2.set_title('Electron cloud diagram $\\Psi_{210}$ (Thresholded)')\n\n# 显示图像\nplt.show()\n

$\"image\"$

真是神清气爽🥳)

调整布局，避免颜色条挡住标签

fig.subplots_adjust(right=1.5)

显示图像

plt.show()

![image|637x500](/uploads/image/23/27/232732133573d47136ae9f000828129e7e6bcc116d19b9785533661c476fc2a0.avif)\n为了方便观察，只选择大于 0.6 倍最大概率的部分进行染色，如下图。与教科书上图形一致。\n```Python\n# 设置阈值：选择最大概率密度的某个百分比作为阈值\nthreshold = 0.6\nmax_psi_square = np.max(psi_square)\nmask = psi_square > threshold * max_psi_square\n\n# 提取符合条件的 x, y, z 坐标\nx = r[mask] * np.sin(theta[mask]) * np.cos(phi[mask])\ny = r[mask] * np.sin(theta[mask]) * np.sin(phi[mask])\nz = r[mask] * np.cos(theta[mask])\n\n# 获取颜色条的 vmin 和 vmax，用于确保两幅图使用相同的颜色映射范围\nvmin = np.min(psi_square)\nvmax = np.max(psi_square)\n\n# 创建第二幅图：显示阈值筛选后的电子云\nfig2 = plt.figure(figsize=(8, 6))\nax2 = fig2.add_subplot(111, projection='3d')\nsc2 = ax2.scatter(x, y, z, c=psi_square[mask], cmap='viridis', marker='o', s=1, vmin=vmin, vmax=vmax)\n\n# 设置颜色条范围与第一幅图相同\ncbar2 = fig2.colorbar(sc2, ax=ax2, pad=0.1)\ncbar2.set_label(\"Electron occurrence Probability density\")\n\nax2.set_xlabel('X')\nax2.set_ylabel('Y')\nax2.set_zlabel('Z')\nax2.set_title('Electron cloud diagram $\\Psi_{210}$ (Thresholded)')\n\n# 显示图像\nplt.show()\n

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真是神清气爽🥳

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zy 教的确实挺好的，图像清晰，适合不少理解力捉急的人（比如我）。

不过多年以后再回来看，重理解轻计算，以后有的是要补课的地方😂

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