AI：
(1) 求函数 f(x) = 5cos(x) - cos(5x) 在 [0, π/4] 上的最大值
解：
为了求函数在闭区间上的最大值，我们需要考察函数在该区间内的驻点（导数为零的点）以及区间端点处的函数值。
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求 f(x) 的导数：
f’(x) = d/dx (5cos(x) - cos(5x))
f’(x) = -5sin(x) - (-5sin(5x))
f’(x) = 5(sin(5x) - sin(x)) -
令 f’(x) = 0，求驻点：
5(sin(5x) - sin(x)) = 0
sin(5x) = sin(x)该三角方程的通解为：
a) 5x = x + 2kπ => 4x = 2kπ => x = kπ/2
b) 5x = (2k+1)π - x => 6x = (2k+1)π => x = (2k+1)π/6
其中 k 为整数。 -
找出在区间 [0, π/4] 内的驻点：
a) 对于 x = kπ/2：当 k=0 时，x=0，这是一个端点。k 的其他整数值会使 x 落在区间 [0, π/4] 之外。
b) 对于 x = (2k+1)π/6：当 k=0 时，x = π/6。这个点在区间 [0, π/4] 内，因为 0 < π/6 < π/4。k 的其他整数值会使 x 落在区间之外。所以，我们需要考察的点是区间的两个端点 x=0, x=π/4 和驻点 x=π/6。
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计算函数在这些点上的值：
- 当 x = 0 时：
f(0) = 5cos(0) - cos(0) = 5(1) - 1 = 4 - 当 x = π/6 时：
f(π/6) = 5cos(π/6) - cos(5π/6) = 5(√3/2) - (-√3/2) = 6√3/2 = 3√3 - 当 x = π/4 时：
f(π/4) = 5cos(π/4) - cos(5π/4) = 5(√2/2) - (-√2/2) = 6√2/2 = 3√2
- 当 x = 0 时：
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比较这些值的大小：
我们得到 f(0)=4, f(π/6)=3√3, 以及 f(π/4)=3√2。
为了比较它们，我们可以将这些正数平方：
4² = 16
(3√3)² = 9 * 3 = 27
(3√2)² = 9 * 2 = 18
因为 27 > 18 > 16，所以我们有 3√3 > 3√2 > 4。
因此，函数在区间 [0, π/4] 上的最大值是 3√3。
(2) 给定 θ ∈ (0, π), 设 a 为实数，证明：存在 y ∈ [a-θ, a+θ], 使得 cos(y) ≤ cos(θ)
证明：
我们使用反证法。
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提出反向假设： 假设结论不成立，即对于所有 y ∈ [a-θ, a+θ]，都有 cos(y) > cos(θ)。
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分析不等式 cos(y) > cos(θ)：
余弦函数是周期为 2π 的周期函数。对于给定的 θ ∈ (0, π)，不等式 cos(y) > cos(θ) 成立的充要条件是 y 落在某个形如 (-θ + 2kπ, θ + 2kπ) 的开区间内，其中 k 为整数。 -
将假设与区间联系起来：
我们的假设是，对于闭区间 [a-θ, a+θ] 内的所有 y，都有 cos(y) > cos(θ)。这意味着该闭区间必须完全包含在某个形如 (-θ + 2kπ, θ + 2kπ) 的开区间内。
也就是说，存在某个整数 k，使得：
[a-θ, a+θ] ⊆ (-θ + 2kπ, θ + 2kπ) -
比较区间的长度：
闭区间 I = [a-θ, a+θ] 的长度为 (a+θ) - (a-θ) = 2θ。
开区间 U_k = (-θ + 2kπ, θ + 2kπ) 的长度为 (θ + 2kπ) - (-θ + 2kπ) = 2θ。 -
导出矛盾：
一个非空的闭区间 [c, d] 能够成为一个开区间 (e, f) 的子集，当且仅当开区间的长度严格大于闭区间的长度（即 f-e > d-c）。
在我们的情况中，这意味着开区间 (-θ + 2kπ, θ + 2kπ) 的长度必须严格大于闭区间 [a-θ, a+θ] 的长度。也就是 2θ > 2θ，这是一个矛盾。
由于 θ ∈ (0, π)，长度 2θ 是严格为正的，所以这些区间都不是空集。
因为我们的初始假设导致了矛盾，所以该假设必定是错误的。因此，必定存在至少一个 y ∈ [a-θ, a+θ]，使得 cos(y) ≤ cos(θ)。
证毕。
(3) 若存在 φ, 使得对任意 x, 都有 5cos(x) - cos(5x+φ) ≤ b, 求 b 的最小值
解：
该条件表明，存在一个相位 φ，使得不等式 5cos(x) - cos(5x+φ) ≤ b 对所有实数 x 恒成立。
这意味着 b 必须大于或等于函数 h(x, φ) = 5cos(x) - cos(5x+φ) 关于 x 的最大值。
设 M(φ) = max_x {h(x, φ)}。则条件变为 b ≥ M(φ)。
我们在寻找 b 的最小值，这等价于寻找一个 φ，使得 M(φ) 这个最大值达到最小。
因此 b 的最小值为 b_min = min_φ {M(φ)} = min_φ {max_x {5cos(x) - cos(5x+φ)}}。
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确定 b 的一个上界：
我们可以选择一个特定的φ值来找到一个上界。令φ=0。
表达式变为5cos(x) - cos(5x)。在第 (1) 问中我们已经分析过这个函数。
利用第一类切比雪夫多项式T_5(u) = 16u^5 - 20u^3 + 5u，其中cos(5x) = T_5(cos(x))。
所以，5cos(x) - cos(5x) = 5cos(x) - (16cos^5(x) - 20cos^3(x) + 5cos(x)) = -16cos^5(x) + 20cos^3(x)。
令u = cos(x)，则u ∈ [-1, 1]。设g(u) = -16u^5 + 20u^3。
其导数为g'(u) = -80u^4 + 60u^2 = 20u^2(-4u^2+3)。
驻点为u=0和u = ±√3/2。
计算g(u)在驻点和端点处的值：
g(1) = 4，g(-1) = -4，g(0) = 0。
g(√3/2) = -16(√3/2)^5 + 20(√3/2)^3 = -16(9√3/32) + 20(3√3/8) = -9√3/2 + 15√3/2 = 3√3。
g(-√3/2) = 3√3/2 - 15√3/2 = -3√3。
函数5cos(x) - cos(5x)的最大值是3√3。
所以，当φ=0时，M(0) = 3√3。
既然我们找到了一个φ使得最大值为3√3，那么b的最小值一定小于或等于这个值：b_min ≤ 3√3。 -
确定 b 的一个下界：
现在我们必须证明，对于任意的φ，其最大值M(φ)都至少是3√3。
M(φ) = max_x {5cos(x) - cos(5x+φ)}。
我们求h(x, φ) = 5cos(x) - cos(5x+φ)关于x的导数来找驻点。
h'(x) = -5sin(x) + 5sin(5x+φ) = 0，这意味着sin(x) = sin(5x+φ)。
这给出了两类解：
a)5x+φ = x + 2kπ
b)5x+φ = π - x + 2kπ我们来分析第二类解：
6x = (2k+1)π - φ，所以x = (2k+1)π/6 - φ/6。
对于满足此条件的任意x，我们有5x+φ = π - x + 2kπ。
我们计算在这些驻点上h(x, φ)的值。
cos(5x+φ) = cos(π - x + 2kπ) = cos(π - x) = -cos(x)。
所以在这些驻点上，函数的值为：
h(x, φ) = 5cos(x) - (-cos(x)) = 6cos(x) = 6cos((2k+1)π/6 - φ/6)。最大值
M(φ)必须至少等于在这些驻点上能取到的最大值。
M(φ) ≥ max_k {|6cos((2k+1)π/6 - φ/6)|} = 6 * max_k {|cos((2k+1)π/6 - φ/6)|}。
令ψ = φ/6。我们需要找到max_k {|cos((2k+1)π/6 - ψ)|}随ψ变化时的最小值。
角度(2k+1)π/6模π后主要有π/6,π/2,5π/6这几个值。
所以我们要分析G(ψ) = max{|cos(π/6 - ψ)|，|cos(π/2 - ψ)|，|cos(5π/6 - ψ)|}的最小值。
其中|cos(π/2 - ψ)| = |sin(ψ)|。
通过对称性可以推断，当各个值达到平衡时，G(ψ)取得最小值。例如，当ψ是π/6和π/2之间弧线的中点时，即ψ = (π/6 + π/2)/2 = π/3。
我们计算G(π/3)：|cos(π/6 - π/3)| = |cos(-π/6)| = √3/2。|sin(π/3)| = √3/2。|cos(5π/6 - π/3)| = |cos(3π/6)| = |cos(π/2)| = 0。
这些值的最大值是√3/2。可以证明这就是G(ψ)的最小值。
因此，对于任意的ψ，都有G(ψ) ≥ √3/2。
这意味着对于任意的
φ，M(φ) ≥ 6 * G(φ/6) ≥ 6 * (√3/2) = 3√3。
所以，b_min = min_φ M(φ) ≥ 3√3。 -
结论：
我们已经证明了b_min ≤ 3√3和b_min ≥ 3√3。
因此，b 的最小值必然是3√3。
b 的最小值为 3√3。
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