量子光学简介(4)

高斯保迹完全正定映射(确定性高斯完全正定映射, Gaussian Completely Positive Trace-Preserving maps)

一个映射 $ \Phi: \mathcal{B}(\mathcal{H}) \to \mathcal{B}(\mathcal{H}) $ 被称为高斯保迹完全正定映射，当且仅当它同时满足以下三个条件：

完全正定性（CP）：对任意正整数 $k$ ，映射 $\Phi \otimes \mathbb{1}_k$ 都是正定映射
保迹性（TP）：对任意密度算符 $\varrho$ ，有 $\mathrm{Tr}[\Phi(\varrho)] = \mathrm{Tr}[\varrho]$
高斯性：对任意高斯态 $\varrho$ ， $\Phi(\varrho)$ 仍然是高斯态

对高斯态的作用

设 $n$ 模初态为高斯态，其一阶矩矢量 $\overline{\boldsymbol r}$ 、协方差矩阵 $\boldsymbol\sigma$ ；确定性高斯完全正定映射驱动的态演化，完全由两个 $2n\times2n$ 实矩阵 $\boldsymbol X,\boldsymbol Y$ 刻画，二者对统计矩的变换规则为：

\overline{\boldsymbol r}\mapsto \boldsymbol X\overline{\boldsymbol r}, \boldsymbol\sigma\mapsto \boldsymbol X\boldsymbol\sigma \boldsymbol X^\top+\boldsymbol Y

矩阵 $\boldsymbol X,\boldsymbol Y$ 需要满足约束：

\boldsymbol Y + i\Omega \ge i\boldsymbol X\Omega \boldsymbol X^\top .

对一般态的特征函数作用

设 $\chi_\varrho(\boldsymbol r)$ 为量子态 $\varrho$ 对应的特征函数。确定性高斯完全正定映射 $\Phi$ 对特征函数的变换定义为：

\chi_{\varrho}(\boldsymbol r) \mapsto \chi_{\Phi(\varrho)}(\boldsymbol r)=e^{-\frac14 \boldsymbol r^\top \Omega^\top Y \Omega \boldsymbol r}\,\chi_{\varrho}\big(\Omega^\top X^\top \Omega \boldsymbol r\big).

对偶映射

对任意完全正定映射 $\Phi$ ，其对偶完全正定映射 $\Phi^{*}$ 由如下迹等式定义：

\mathrm{Tr}\big[\hat{A}\,\Phi^{*}(\hat{B})\big]=\mathrm{Tr}\big[\Phi(\hat{A})\,\hat{B}\big]

上式对所有有界算符 $\hat{A},\hat{B}$ 成立。

设 $\Phi$ 为由矩阵 $\boldsymbol X,\boldsymbol Y$ 参数化的确定性高斯完全正定映射，则其对偶映射 $\Phi^*$ 作用于 Weyl 算符 $\hat D_{\Omega \boldsymbol r}$ 的形式为：

\Phi^{*}\big(\hat{D}_{\Omega \boldsymbol r}\big)=\hat{D}_{\Omega X^{\top}\boldsymbol r}\,e^{-\frac14 \boldsymbol r^\top Y \boldsymbol r}.

对 Weyl 算符的作用

由矩阵 $\boldsymbol X,\boldsymbol Y$ 表征、且 $\boldsymbol X$ 可逆的高斯完全正定映射，作用在 Weyl 算符上满足：

\Phi\left(\hat{D}_{\Omega \boldsymbol r}\right)=\frac{e^{-\frac14 \boldsymbol r^\top \boldsymbol X^{-1}\boldsymbol Y (\boldsymbol X^{-1})^\top \boldsymbol r}}{\left|\det \boldsymbol X\right|}\hat{D}_{\Omega (\boldsymbol X^{-1})^\top \boldsymbol r}.

经典混合

当 $\boldsymbol Y\succ0$ 时，完全正定映射：

\Phi_{Y}(\varrho)=\int_{\mathbb{R}^{2 n}} d \boldsymbol{r}' \frac{e^{-\boldsymbol{r}'^{\top} \boldsymbol{Y}^{-1} \boldsymbol{r}'}}{\pi^{n} \sqrt{\det \boldsymbol{Y}}} \hat{D}_{\boldsymbol{r}'} \varrho \hat{D}_{\boldsymbol{r}'}^{\dagger}

等价于参数取 $\boldsymbol X=\mathbb 1$ 、噪声矩阵为 $\boldsymbol Y$ 的高斯完全正定映射。
这个写法其实就是在做卷积。

anon1678451

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