3b1b (Grant Sanderson)

从未有过比现在更好的时代去投身数学

数学世界正在燃烧

让我们好好谈谈这件事。感觉整个数学界都在为 AI 在数学中的角色而沸腾。我已经思考这个问题很久了，所以上周我发了一条帖子，征集大家关于这个话题的疑问。我看到的很多评论来自学生——也许是博士生，也许是本科生——他们原本计划进入数学或相邻的理论领域，现在却基本上只是在问："我该怎么办？当未来看起来如此不确定时，我接下来该做什么？"有很多恐惧，认为数学已死，或者数学已被解决，又或者即使你不相信那些说法，数学未来将变成的那个东西也是令人不快的、不是你真正想做的事情。我也和很多教授交谈过，他们基本上就是双手一摊，说："我该怎么告诉我的学生？在这个时刻，我该如何给他们建议？"所以我想在这期内容里聚焦于我看到的一条具体评论，它如此具有代表性，仿佛浓缩了无数其他声音。一位数学博士说："就告诉我明天该做什么吧。"

所以我想提出一个论点，我也想看看你是否同意我的观点——那就是从未有过比现在更好的时代去投身数学，从未有过比现在更好的时代去资助数学。也许我们在这个时刻将看到的最激进的变革，是对我们如何分配学术荣誉的重新定义，但数学的实际制度及其本质，即使在机器能做到数学家目前能做的所有事情、而且做得更好的假设性未来中，依然出人意料地不受影响。

在这期内容的第一部分，我只想搭建一个框架，展示我一直在如何思考这个问题。我们列出数学家所做的所有事情，然后列出数学对世界的所有价值，再思考资金从哪里来，以及后两者之间如何相互关联。我认为这对任何职业都是一个有用的练习，无论 AI 是否存在。但一旦 AI 进入讨论，你可以做的就是问：假设机器在每一项任务上都比人类做得更好，甚至比所有任务都做得更好，会发生什么？我当然不可能声称能精确预测会发生什么，我想给我在这期内容中所说的一切加上非常宽的误差范围。但大体上，我想尽我最大的诚意去尝试想清楚这些问题，并带着你一起思考。顺便说一句，也许值得先说明一下，我对于是否希望更多人进入学术数学这件事并没有切身的利害关系。事实上，如果非要说点什么的话，我一直认为也许有太多学生出于错误的原因去攻读博士学位。你知道，如果你一直喜欢学校、一直擅长学业，那么继续某种形式的学校教育是非常舒适的选择，博士项目感觉就是那种延伸。而你应该问的是：你想如何为世界上的其他人创造价值？你如何利用和发展自己的技能来更好地做到这一点？也许学术研究是实现这一目标的方式，但也许不是。问这个问题很重要。例如，很多因为当下形势而离开学术界的人，他们的动机是觉得他们能做的最好的事情是 AI 安全。如果那是你，很好，去做吧，跑起来，跑起来，跑起来。但我现在主要想对话的是那些出于恐惧而考虑离开的人——出于对这个职业将不复存在的恐惧，或者它将不再是他们会享受的事情的恐惧。因为我真的相信，不仅这个职业将继续存在，它将变得极其有用，也许比以往任何时候都更有用，而且也将充满欢乐。

数学研究的构成

那么，数学研究究竟包含什么？最显而易见的是证明定理。很多人把时间花在这上面。我们有这样的老套说法：数学家是一台将咖啡转化为定理的机器。但每个人都知道，这远非全部，而且这也是当下讨论中非常重要的一部分。有一句很好的话是这样说的：好的数学家证明定理，伟大的数学家提出猜想，而最伟大的数学家书写定义。所以我们可以把这一项也加入我们的清单。除了证明定理之外，你还有一种活动，就是决定什么值得去问。这里面有大量的品味判断——对某个想法是否足够有趣、是否能产出好的数学有一种特定的感觉。然后，与其说"书写定义"，我想加入第三个类别：理论构建。你有一堆已经被证明的定理，或者你对哪些问题值得去问有某种感觉，但你真正想要从中获得的是对到底发生了什么的一种广泛理解。你知道，当笛卡尔引入笛卡尔坐标时，他回答的并不是某一个具体问题，那是一整个思维框架。或者当伽罗瓦引入群论的最初种子时，其意义与五次方程的不可解性几乎没有关系，而在于那是一种全新的概念化方式，一种看待正在发生之事的方式，它将在随后的几个世纪里催生出一片极其繁茂的、高度有用的数学领域。我觉得格罗滕迪克也是这方面的好例子。他有各种各样的隐喻式表达方式，其中之一是：如果你试图从一座山顶到达另一座山顶，一种方式是解决所有问题——像走下山谷再爬上另一座山那样——而另一种方式是让海平面上升，在两座山之间涨起潮水，然后从一座山顶驶向另一座山顶。这个比喻中，上涨的海水就是你构建的所有理论——不一定是证明某个特定的定理，而是给出对到底在发生什么的更深层整体理解。你还有应用这个组成部分，即弄清楚所有这些抽象如何嵌入科学和工程之中。在所有这些类别中，另一个隐含的部分是将所做的事情清晰地传达给他人。这不仅仅是吐出一个证明，而是给出一个有合理动机的阐述，说明那是什么。或者在构建理论时，不仅仅是列出一堆定义——伟大的数学家会有效地传达为什么这些是值得参与的结构，并试图在其中传递他们的某些品味。

数学的价值

转到价值这边，最显而易见的是应用——对科学和工程的相关性。每个人在纯数学的基金申请书中写的都是，有时候这些应用可以非常下游，几十年甚至几个世纪之后才显现。让我举几个经典例子：十六世纪一群意大利人试图解三次方程，其中一个奇怪的技巧涉及认真地对待负数的平方根。将那个理论构建沿袭几个世纪，你就得到了虚数，而虚数是量子力学、电气工程、波动研究以及几乎所有东西的关键组成部分。关于欧几里得第五公设的问题导致人们发展了非欧几何，然后……你得到了广义相对论。对费马大定理的追求在代数几何和椭圆曲线等领域周围建立了所有这些美丽的理论，而这些理论反过来又出人意料地在密码学中变得有用。这样的例子非常多，人们喜欢列举它们。

数学价值的另一个组成部分不在于社会应用层面，而在于个人层面——做数学的实践和经历成为数学家训练的一部分，会给你留下一系列问题解决技能，这些技能看起来具有非常强的可迁移性。所以经济中有大量其他领域的人——进入计算机科学、机器学习研究、现在的 AI 安全、金融、密码学或所有这些领域的人——他们曾接受过大量数学训练。也许只是在数学系上了几门课，也许甚至拿到了数学博士学位，但最终没有成为数学家，而是将所有这些技能用在了别处。看起来这里确实有某种可泛化的东西。有一种关于如何找到正确抽象、如何进行这种问题解决的方式，使得人们在别处更有价值。

价值的第三个类别常常被低估，但我认为它将变得越来越值得被欣赏，那就是纯粹的审美。做数学本身就有一种欢乐。就我个人而言，我觉得有一种非常特定的情感——当我参与一个好问题时，脑海里会有一种咔哒声。我看到它将如何被解决。或者当我在脑海中持有一个我尚未深入参与的某种新理论，我看到它如何组合在一起，它就给了我一种完全不同的思考方式。我认为数学中有很多不同的部分都有那种重塑你思维的感觉。任何上过线性代数课的人，余生说话都会稍微不同——他们会用"正交"这样的词来谈论想法。或者参与范畴论的人，有时候会觉得自己的大脑被翻转过来，获得了一种全新的、令人满足的思考方式。就是很美好。如果你和数学家谈论是什么促使他们进入这个领域，不是每个人，但我认为对很多人来说，这实际上就是原因。做数学有一种特定的欢乐，一种特定的艺术愉悦。我也认为这有助于解释你现在看到的人们对 AI 进入数学的强烈反应——它如此强烈地呼应了艺术家们对 AI 与艺术的反应。这很难受，因为在某种意义上，感觉它侵犯了一种特定的艺术形式。

数学的资金来源

但如果我们把这当作一个职业而非爱好来思考，如果没有资金来源，这一切都不重要。那么数学的资金从哪里来？一个大的组成部分是教学。很多数学家是数学教授，他们在大学里，在数学系任教。数学系本身通常教的学生远不止数学专业的学生，所以它们对学分学时和学费有超比例的影响。然后是公共资金，当然，比如在美国我们有 NSF 拨款。我们也有来自各种机构的私人资金，比如西蒙斯基金会，有时候也会有工业界的资金。在这些类别中，顺便说一下，就资金来源而言，教学是最大的一个，这对于数学来说与其他科学相比有点特殊，因为研究相对廉价，而通过数学系的学生范围相对较广。

好了，我们即将进入想象 AI 在数学研究栈的各个部分变得比人类数学家更擅长时会发生什么的练习。但首先，也许值得明确价值栈和资金栈之间的关系。例如，后两个价值来源——问题解决能力和审美欢乐——是个人性的善好，它们只被做数学的那个人所体验。公共资金的存在不仅仅是为了支持圈内人从事某种有声望的、审美上令人愉悦的爱好。我认为更好的思考方式是，后两个价值来源基本上通过教学这个环节流经资金链。在大学数学系走廊里走过的学生，很大程度上是为了培养技术性的问题解决技能，希望这些技能在别处有用。其中一些人也是为了审美上的欢乐——我知道我是。虽然拥有数学的其他好处——它锻炼了一种通用技能集的肌肉——是令人安慰和认可的，但对我从那个数学系获得的大量价值的一个诚实描述是在审美那一边。对社会的益处当然来自下游应用。但我认为有更多值得承认的共同利益。例如，数学普及——像这个频道或 Numberphile 上发生的事情，或者数学家做报告时——真的是一种试图将那种审美欢乐更广泛地分享给社会的方式。而且，就什么为公共和私人资金提供正当理由而言，即使每个人都围绕下游应用来写他们的基金申请，我认为一个更重要的正外部性是：你有一个机构在培养一群具有某种问题解决能力的人，吸引他们从世界各地来到有声望的大学，然后他们中的大多数不会成为数学家，而是带着那些可迁移的技能溢出到经济的其他非常有用的部分。仅这一个组成部分，我认为，就是对指向那个机构的每一美元的一个非常有意义的投资回报——至少在其真正培养好的问题解决技能、且那些问题解决技能确实可迁移的范围内。

当机器比数学家更擅长证明定理

好吧，让我们进入核心。如果 AI 在研究栈的各个部分变得擅长，会发生什么？当我们进入第一个区块——假设机器在证明定理方面比数学家更擅长——之前，也许值得退后一步，总结一下刚刚发生了什么。像我说的，我一直在思考这个问题。实际上，Three Blue and Brown 背后一直在进行的一个安静项目是，从 2025 年中期开始，我一直在录制与数学家的访谈，只是为了听听他们对 AI 在数学中的存在有何感受。我的一个广泛结论是：在任何一个时间快照中，现状被高估了，但速度没有被高估。例如，回到 2023 年，我记得收到一位朋友的短信说："你知道，DeepMind 是不是刚刚碾压了奥赛级别的几何？"他指的是 DeepMind 发布的某个模型，能够回答 IMO 级别的几何问题。当时，答案是：我想是吧，但它也显然不是我们所说的"解决 IMO 级别问题"的精神。它感觉非常定制化和暴力，而很多问题应该需要一种创造力和想象力的元素。但如果你快进几年，自然语言模型——甚至不是定制化的——就能以任何合理的定义来解决 IMO 级别的问题。或者今年早些时候，你开始看到针对所谓 Erdős 问题的证明出现——一位伟大的数学家 Paul Erdős 提出了很多不同的问题，他对什么构成好的猜想有很好的品味。这些问题有一个编号列表，自然意味着模型公司喜欢用它作为一种基准。无论这是否是一个好的基准，你开始看到越来越多这些问题的机器生成证明。在早期，很多人说"是的，是的，但如果你仔细看，很多只是低垂的果实——是人们没有尝试过的问题，或者问题已经被解决但没有被很好地记录，模型基本上只是在重新包装那些东西，但没有做荣誉归因"——这当然是一个大问题。但如果你快进到此刻，没有人再说我们看到解答的那些问题只是低垂的果实了。这些是很多非常严肃的问题，数学家们曾非常努力地寻找证明，而 LLM 正在输出证明。这里我也想非常清楚地说，即使你抛开那些头条新闻式的结果——比如 OpenAI 最近的那些东西，Navier-Stokes 相关的或者他们发布的几百个问题——这也是真实的、值得讨论的。如果你和一线的数学家交谈，看他们与这些模型的互动方式，至少对其中一些人来说，你会听到的是：他们向某个推理模型提出一个严肃的研究问题，得到的东西是他们觉得有洞察力的。当然，这在不同领域和不同人之间差异很大。前沿在分形层面上是参差不齐的，绝不均匀。围绕这些证明的呈现方式也有大量争议。不想淡化其中任何一个的重要性，但我认为这里宏观的万英尺高空视角是：四年前，这些东西甚至不能正确地做加法。它们能够做竞赛级数学的速度比任何人预期的都快得多。它们从那里跳到做任何与研究相关的事情的速度也比很多人预期的快得多。所以即使说定理证明已经被解决了是一种夸张，即使我们看到的大多数证明只是离人类数学家的贡献——通常是最近的贡献——一步之遥，即使"定理证明被解决"意味着什么甚至都没有被很好地定义，鉴于过去四年的进步速度，为了论证的目的，为了那个试图展望未来、推测什么在他们未来中是稳定的第一年博士生，让我们就假设机器在数学的证明生成方面在范畴上更擅长。

那么会发生什么？简而言之，我认为它对价值栈几乎没有影响，因此对资金栈也几乎没有影响，但它对数学制度的文化和荣誉分配系统有非常巨大的影响。仅看价值栈那一边：应用，像我之前说的，几乎总是来自理论构建那一边。重要的不是五次方程不可解的证明，而是群论的创造，而群论反过来有诸如让人们假设夸克可能存在这样的影响。重要的不是费马大定理的是或否答案，而是从中涌现的所有数学及其应用。有时候你可以说定理的陈述本身就有某种效用。一个例子可能是：如果你在追求核聚变，你想要一个磁场处处非零的系统，毛球定理告诉你不能用球面拓扑的东西来做到这一点。这总让我觉得有点牵强，但大体上，应用来自理论构建那一边。所以下游到资金，这意味着公共资金仍然非常合理。如果有什么变化的话，数学家现在在做理论构建方面有了更大的杠杆，私人资金也是如此。对于价值栈上的下一项——培养那些问题解决肌肉——这基本上不受机器是否更擅长的影响。就像可能有很多人类比你更擅长生成证明，但为了培养那些问题解决肌肉，自己经历创造证明的过程仍然是有帮助的。这里的类比基本上是去健身房——是的，机器能举起比你更重的重量，但这并不否定你举那些重量所获得的价值。顺便说一下，这将对我们让 AI 变得越来越擅长的几乎每一项都成立——价值栈的这一部分，培养问题解决肌肉，始终要求你这个人真正参与其中。现在你可以问，在我们即将到达的那些科幻未来中——由 AI 越来越多地接管这些能力所暗示的未来——我们是否还需要人类的问题解决能力？我们可以暂时搁置那个问题。但只要这有价值存在，它就通过资金渠道的教学那一边流动。拥有人类专家能够生成证明仍然是非常有价值的，这样他们就能训练学生也能够生成证明，从而获得那些溢出效应。

审美欢乐这边在这里变得更复杂一些，因为我看到了两面。我见过很多的一种情绪，尤其是在网上，是定理证明来自机器完全吸走了其中的欢乐。你知道，通常如果一个数学家正在朝着某个特定结果推进，然后那个结果是 OpenAI 一次性倾泻下来的几百个之一，他们会说那完全抽走了他们所有的动力。我理解这一点，谈论那一部分很重要。但就我所见，尤其是在面对面交流中，也有完全相反的一面——一些数学家完全感到兴奋。他们有这些一直非常想知道答案的问题，现在他们有了与模型的互动，他们开始看到答案，特别是当他们关心的不仅仅是证明而是理论构建时，感觉他们被解锁了。让我给你一个小例子，我想分享一段我与高等研究院的 Konstantin Kogler 的对话，他谈到了他领域中一个非常重要的问题——最重要的之一——在过去一年里他会不断地把它提给当时可用的最先进模型。这是他的评论："我可以说有两次非常非常重大的成功。所以在周日，我让我们领域中也许是最大的未解决问题被解决了。还有另一次成功是关于那些不可约多项式的——就是我之前跟你说的那些。那绝对是奇妙的。而且很简单，星期四就已经看到了，所以它很简单。它有一个简单而强大的想法。首先我感到难以置信的兴奋——因为数学，因为力量，因为我学到的真理，因为我看到的思想的力量。然后我思考那些数学，这让我睡得更少了，然后我思考那种兴奋，因为我得到了我一直在渴望的那些洞见。"顺便说一下，这种二分法——网上倾向于看到更多消极情绪，而面对面倾向于看到更多欢乐——当然不是 AI 与数学所独有的。这就是当今世界话语的本质。我不想淡化那些消极感受的现实性或正当性。事实上，我想稍后深入探讨它。但我确实认为这对那个中心问题——博士生问明天该做什么——有一个含义。

我承诺在这期内容的结尾给你一个具体的答案，但那个答案的第一部分是：去社交。合上笔记本电脑，和你的博士同学们去散一个长步。至于那次长步中讨论的话题，相信我，我们会讲到的。我知道我们在这一个项目上花了很多时间，但它确实是当下大部分话语所在的地方，我还有几件事要在这里说。例如，如果机器在证明生成方面更擅长，做数学的实践实际上会是什么样子？如果我们采取那个乐观者的视角——那个为此感到兴奋的人——它基本上看起来是投入理论构建。你不再被你能多快解决沿途某些问题所限制。你可以问你所有想问的问题，你可以更快地看到它们的解答是什么，你可以尝试解析那些，理解这如何融入一个更大的叙事，所有你正在看的证明中简单性的要素是什么，你如何将这一切编织成一种新理论的织物——就像伽罗瓦引入群论或格罗滕迪克发展代数几何那样。你作为个人能完全生长出什么？也许你的博士论文不是少数几个证明，而是那整个理论构建。一个类比是：就像读一本教科书，你能够更快地理解那些材料，部分原因是你后面有答案。这不是说你应该总是看答案，你仍然应该做那些问题并参与其中。但如果你卡住了，有一个更连贯的答案呈现确实帮助你摆脱困境，让你比完全在未知领域时移动得更快。现在你确实需要在这方面深思熟虑。例如，很多机器生成的证明会使用源自人类发表的出版物的想法，目前这些的归因并不总是自动的，所以这显然是一个问题，意味着你必须付出额外的努力来确保荣誉归于应得之处。

但承认那种我提到的非常真实的欢乐丧失，我认为很多数学家会看着我刚才描述的说："天哪，那看起来太可怕了。我不想坐在那里试图解析一堆机器生成的垃圾，只是理解别人已经回答过的问题。我想自己找到解答。我追求数学的全部欢乐就是自己去做，自己对事物形成自己的理解。"我确实认为处理那种感受也许是整个社区作为整体目前需要面对的更重要的问题之一。但我怀疑至少部分那种感受可以归因于两件不同的事情。其中一件是，目前从模型出来的东西的解释质量往往还有很多不足之处，没有人想只是解析一堆垃圾。我怀疑那会变得更好。我认为这可能是历史上的一个暂时性波动——你有证明生成，但它也几乎不可理解。模型公司有巨大的动机让它们的模型能够很好地解释事物。如果你看代码的轨迹，我认为早期很多生成的代码即使功能正确也相当粗糙，而轨迹一直在朝着更干净的方向发展。人们可能在那一点上跟我争论——它们确实过度注释了——但大体上，我确实认为那是轨迹。

更深层的问题，我怀疑，是围绕数学社区重视什么以及荣誉在哪里被分配的文化惯性。因为令人难受的事情之一是，如果你感觉你在追求一个问题，然后一个模型找到了答案——特别是如果它来自模型公司而不是你与它的互动——然后感觉那个问题被解决了，你只是在后面扫地。在数学历史的很长一段时间里，我们一直用证明作为理解的代理。它是我们瞄准的北极星——证明某样东西意味着你理解了它。我们有那些宏大的未解决问题，我们认为证明被创造出来的那一刻就是它们被解决的那一刻。现在当然那不是全部，每个人一直都知道那不是全部。如果你向期刊提交一篇论文而它写得很差，他们会直接退回来。如果你在其中证明了一个非常重要的定理但它写得很差，他们会感到沮丧，因为他们知道他们应该关心，但他们仍然会退回来，解释清楚的责任在你身上。我认为在这一点上，我们应该将证明视为与数值计算类似的东西——也就是说，它是一种原始数据的形式，对理论构建有帮助，但它本身绝不是目的。顺便说一下，这不是我自己的想法，其他人也将机器生成的证明视为更像数据的东西来对待。但我认为非常广泛地说，将理论构建视为目标而非证明，将证明视为一种可以插入其中的原始数据，有一种解放感。例如，我不关心 Navier-Stokes 问题的强制爆破。我关心的是如果有人理解了那个证明中的想法，以及从那些想法中可以绽放出的那种数学——成为一种美丽的、连贯的理论。如果有人投入工作去做那件事，给他们千年奖。那才是我们最初关心它的原因。证明只是数据，就像给我更多 $\pi$ 的位数一样。这也影响了你如何做研究。也许有时候你需要再一个证明，与模型互动是做到这一点的最好方式。但很多时候可能不是，更好的是合上笔记本电脑，自己潦草地写下你的理解，然后问：现在阻碍我发展更深层理论的到底是什么？是再一个证明吗？还是我对现有证明的理解有什么问题？再次拉出我们的数学研究组成部分，如果机器生成证明但不能很好地传达它们，那确实意味着你仍然需要人类数学家来使它们变得可理解。坦白说，那可能不是最有趣的部分。也许这取决于你的视角。无论如何，我假设那是相对暂时的，让我们就说机器也变得更好地传达它们的想法。顺便说一下，那只是书面交流。一种同样有价值的交流形式是更社交的一面，通常通过口头报告发生。我认为在整个未来轨迹中，口头报告能力的相关性只会越来越高。机器不能替你理解，而数学的一个重要部分是让其他人理解并关心，我们是社会性生物。所以即使机器更擅长解释，让我们关心的很大一部分是看到另一个人真正关心。

当机器也擅长提出猜想

这里有一个项目是提出问题，决定哪些定理值得被证明。目前，那仍然是一个令人难以置信的充满活力和高度杠杆化的领域，数学家可以在其中投入时间。但让我们想象一下，再次为了论证的目的，机器在那方面也变得更好了。你与模型的互动不仅仅是要求它证明一个特定的定理，而是它回来说："这里还有其他值得问的问题，可能会产出丰硕的数学。"而且无论我们如何定义它，它们在提出那些问题方面比数学家更擅长。这显然与理论构建之间有一条非常模糊的界限，但至少让我们参与一下：假设人类仍然在理论构建那一边更擅长——真正理解这广泛的一组定理及其证明方式的意义。那才是与下游应用最相关的，因此从资助数学的角度来看，不仅这样做仍然有意义，你在这样做时拥有更大的杠杆，因为每个个体数学家能够比以前更快地推进理论。在培养问题解决肌肉那一边，一如既往，就像健身房的哑铃。机器是否更擅长并不重要。你仍然想要一种实践——人类被训练如何做到这一点——假设人类的问题解决能力在任何程度上是相关的。在审美欢乐方面，我认为我们继续看到一点分裂。有些人不会觉得一个模型既提出自己的问题又回答它们很有趣。我知道我自己可能会花一辈子的时间试图在自己的脑海中想出有趣的问题，并找到自己的方式来回答它们，不管模型能做什么。但也会有那些感到兴奋的人，他们在构建理论、理解那些理论方面感到越来越少地受到限制，甚至开始看到它们如何被应用——其节奏不再是等待几十年或几个世纪才有下游应用，而是也许能更早一点去寻求它们。

当机器也擅长理论构建

但如果——今天的研究生可能会问——理论构建那一边也倒下了呢？如果在某种抽象意义上推进理论数学的最有效方式不仅是让机器生成证明或问它们应该证明什么定理，而且它们也在消化所有这些证明，找到其中的简单性要素，理解你真正需要编织什么样的新颖织物才能围绕它形成一个连贯的理论呢？那将类似于给它所有到 1500 年代的数学，然后它不仅解出三次方程，还想出如何表示它的正确记号，想出复数理论，你知道的，所有那些下游的东西。也许你认为那不太可能，那种真正新颖的思考水平在当前的 LLM 中是不可信的，鉴于它们对人类知识和训练数据的依赖。但再次，为了假设性探索，如果什么都不说，在那个世界里数学领域会是什么样子？好吧，就我们想要在现实世界中产生应用而言，根据这个假设的假设，模型在生成所有理论方面更擅长。但你仍然需要有人充分理解所有这些理论，以看到它如何在周围领域中得到应用。这些东西中是否有任何与治愈癌症相关，或者与使核聚变成为现实相关，或者与高温超导体相关？那才是所有橡胶真正接触路面的地方。在个人问题解决那一边，与整个故事中的情况一样——你在健身房。机器是否更擅长并不重要。如果人类的问题解决肌肉在任何程度上是相关的，你仍然想要他们经历所有这些的实践。

在审美和欢乐那一边，我意识到我实际上一直在混淆两件不同的事情。所以我说的欢乐的一个版本是任何在任何层面上做数学的人所体验到的。那是看到巧妙解答并感觉它在你脑海中咔哒一声时带来的那种非常独特的满足感，或者是理解一个新主题可以改变你的思维方式——以一种非常令人向往的方式。那就是你和我在这个频道上所做的一切。然后另外，还有前沿研究者所体验的欢乐——那种推动前沿前进的感觉。现在在第一个类别中，那个在我看来或多或少不受 AI 是否在清单上某些任务中更擅长的影响。它完全类似于问题解决那个位置。出于同样的原因，为了体验这一部分价值，你必须是真正在做数学、在自己头脑中参与的人。现在，能够做数学的模型的存在可能对某些人的那一方面有一些影响，但我也认为欢乐的这一面更加本质上是公共的或社交的，或者至少它从公共和社交中受益。我认为当你与其他对此充满热情的人在一起时，或者当你看到另一个人对此充满热情时，感到对某事物的热情要容易得多。它可以在孤立中发生，确实可以，但那个社交成分永远会是一个放大器。就我而言，我总是想要参与更多的数学片段，在自己的头脑中理解它们，并与你们分享，并花一生与你们分享它们，无论任何机器的能力如何。

至于研究者所体验的欢乐，这里再次，我认为我一直在描述的那种分裂只是被放到了越来越尖锐的焦点中。你可能会永远有那些被一台机器所提供的一种非常新的通往数学世界的窗口所激发的人，我认为你也会永远有那些觉得这极其令人沮丧的人。因为让我们面对现实，这里确实失去了一些东西。长期以来，你一直在推进人类理解与所有这些下游应用之间有着紧密的耦合，而在我们谈论的这些假设中，那些正在越来越脱钩，这可能意味着对某些人来说，纯粹为了推进人类理解本身的那种感觉失去了一点力量。也许你不想读一本后面有答案的教科书，即使你不必看它——那击败了全部的开拓精神。我和之交谈的很多数学家，我认为对处于前沿或成为第一个发现某物的人并不那么感兴趣。他们似乎真的在社区的性质中找到了大部分欢乐。所以毫无疑问，你将看到数学社区中出现越来越多的子潮流，倡导推进人类对数学的理解本身作为一个值得追求的终极目标。所以总结一下它在我们图表中的相关性：只要学习数学总有欢乐可以获得，并且那可以通过教学渠道流动——假设人们愿意付费学习它——那就不受影响。但坦率地说，如果那种欢乐的一部分也许来自成为先驱的希望——成为第一个踏入新理论的人——让我们承认，那将是一种失去。

当机器在所有方面都超越人类

为了把它全部推演完，看着我清单上的最后一项：假设机器不仅在生成证明方面更擅长，不仅在提出其证明将产出丰硕数学的猜想方面更擅长，不仅理解那些丰硕的数学是什么以及它应该如何被封装进好的定义和好的理论方面更擅长，而且它们也比人类更擅长看到那些理论插入什么应用中、将其嵌入科学和工程。让我们称之为"你能做的我都能做得更好"的未来。这里事情开始变得更有趣，因为第一次在这个价值链上，理论上所有流向应用的效益在机器中发生会更好。所以理论上，就公共和私人资金是由下游应用驱动而言，这些资金最有效的使用方式将是把它倾注到某个只是做数学的大块计算上——它创造理论，将理论嵌入应用，在那个意义上推动事情前进。如果我必须猜测，即使在那个时候那将是资金的理性使用——就它们由下游应用驱动而言——我觉得很难想象政策制定者只是拨动开关，公共资金不再流向人类而是流向一大块计算。我能想象的是某些从 AI 本身中变得极其富有的个人开始设立私人基金会，只是把资金倾注到一大块做数学的计算上。那似乎有很大的可能性会发生。在公共资金那一边似乎更可能的是，人们会越来越多地谈论来自数学的其他正外部性。例如，拥有这个培养问题解决者的机构，他们溢出到世界其他地方——那仍然极其有价值。仅这一点本身就对任何公共资金给予正的投资回报。或者如果出现正式机构，围绕人类为人类繁荣而做的数学——那本质上是将数学拥抱为一种艺术，它一直是艺术，也许在那一点上那就是资金被感知的方式。它像艺术被资助那样被资助——既有公共的，也有某些私人慈善渠道。但再次记住，那些甚至不是数学大部分资金的来源。大部分来自教学，而教学的价值最终来自价值链中的下面两个要素：训练人们培养问题解决肌肉，并在他们心中灌输一种非常特定的欢乐。这个"你能做的我都能做得更好"的未来所暗示的未来如此狂野，甚至很难严肃地参与。作为一个旁注，所有这些对话都取决于一个事情进展顺利、没有灾难性事件发生的分支。所以再次，也许有些人认为 AI 安全现在是他们更应该工作的地方。但当我们参与这个话题并假设那是未来的一个好的分支时，在我看来，你很可能仍然会有类似现有大学结构的东西。即使理论上 AI 更擅长解释事物，人们仍然想从人类那里学习，因为教育的瓶颈不是解释的清晰度，而是动机。人们是否真的想学习那些材料，什么激励人们？有时候只是纯粹的学习本身的欢乐，但我们是社会性生物，激励人们学习的很大一部分是看到另一个人对此深深充满热情——特别是如果那是他们尊重或关心的人。教学总体上在我看来是从 AI 替代工作的角度来看最安全的位置之一，因为它是如此关系性的，因为它如此依赖于人与人之间的互动。无论通过屏幕产生多少清晰度，都无法替代那种东西。

我们站在哪里

那么这让我们站在哪里？我认为在可预见的未来，研究需要越来越多地强调数学的理论构建那一边——它一直是这样的，那一直是重点。但主要的区别是，证明曾经是那个目标的一个非常有价值的代理，而它正在失去作为代理的价值。在这一点上，它是一种原始数据的形式，它有可能成为一种有用的原始数据形式，是的，毫无疑问我们必须改变我们如何衡量人类的学术贡献。但那可能是一件好事。证明本身可能几十年来一直被高估了。同样，就这个机构对磨练问题解决技能有价值而言，它也确实提出了如何确切地做到这一点的问题，因为之前做那种训练的方法不再适用。例如，仅仅布置和评分问题集在现在并不真正有意义。然后即使你担心某个科幻未来——所有数学真的可以被机械化——或者即使你担心问题解决技能的训练不知何故不会有用？似乎有点牵强，但让我们参与一下。只要做数学有欢乐存在，数学对人类就永远有价值。我对最后一点最看好的原因——即使在那些狂野的科幻未来中它也将作为一个支撑柱存在——是因为这个频道。我的意思是，想想这里正在发生什么。外面有数百万你们愿意在这里参与，而我们实际上在做的是……只是沉浸在数学的美中，找到优雅的、解答非常令人满足的问题，或者试图灌输新的思维方式。现在坦率地说，并不是数百万你们愿意为此付费——那当然很好——但有数千人愿意，那就改变了一切。看看这个频道之外，我最喜欢引用的一个例子来说明公众对数学显然有很大的胃口，是考虑 Brady Haran 经营的所有频道——在所有频道中，最受欢迎的远远是他做数学的那个。或者把时间倒回一点，如果你看 Martin Gardner——现代数学普及的教父——最初他的专栏出现在《科学美国人》的末尾，但后来他们不得不把它移到开头，因为太多人是为了他的专栏才订阅的。显然，一旦人们尝到了数学真正是什么的滋味，社会对它就有一种巨大的胃口。所以我认为数学社区明智的做法是向外转，去满足那种渴望。

为什么现在是最好的时机

在这期内容的大部分时间里，我只是在阐述为什么我认为数学制度是有价值的、将继续存在。但我以一个更强的论点开头。我说我认为这是进入数学的最好时机之一，我猜测很多点开这个视频的观众可能预期我的意思是 AI 将解锁数学中的新机会，但实际上我不是在指那些。我认为这是最好的时机之一的原因是，整个社区都知道它需要改变，如此多的人在退缩、寻找关于那种改变应该是什么的指导和榜样。所以你，作为那个领域的新进入者，有可能在它历史上最关键的时刻之一真正影响它将成为什么。我认为那是令人难以置信地兴奋的。

所以对那位博士生的评论——"告诉我明天该做什么"——我可以告诉你如果我是 2026 年的博士生我会做什么。我会做 Three Blue One Brown。我会做完全就是这个。如果十年前我走进某个数学系说："嘿，我有一个概念，用高度视觉优先的方式来解释数学，哦顺便问一下，你们能把那做成一个学术认可的博士论文吗，不仅仅是一个爱好？"我几乎会被每一个系嘲笑出来。我不确定我年轻时的自己能今天做到这一点，但如果有任何时候人们会对此持开放态度，那就是现在。现在我不是说那就是你应该做的。你应该投入任何让你热爱数学的东西。我热爱解释它，我热爱可视化它。那是我的热情，那是我想要奔跑的方向。但你的呢？你想带着什么奔跑？如果你热爱理论构建那一边，你想成为下一个伽罗瓦或下一个格罗滕迪克，很好，带着那个奔跑。你有一台证明生成机器可用，它将在未来四年变得越来越好。也许你可以用它创造一篇世界从未见过的博士论文——一台机器开辟一个你在以前的世界中永远无法到达的新领域。如果你不喜欢模型，你不想使用它们，它们让你口中留下不好的味道，很好，也投入那个。毫无疑问，数学社区中会有子潮流想要建立"人类为人类做的数学"是什么样的、那会是什么样子。你可以插一面旗帜在沙中。你可以决定一篇体现那个目标的博士论文看起来是什么样子。

我会做的另一件事是认识到，如果机器在研究栈的任何子集上更擅长，衡量一个人对材料的理解及其推动领域前进的潜力的最有效方式——无论那意味着什么——将越来越多地转向口头报告那一边。所以做报告，做很多报告，变得非常非常擅长做报告，让那成为你实践数学的一个非常规律的部分。

现在，我对明天字面上该做什么的最具体建议是：去散一个长步。找一个朋友，也许是你项目中的另一个人，和他们一起反思——你喜欢数学的什么？你为什么进入它？问他们，他们热爱什么？他们为什么进入它？然后一起头脑风暴，你们究竟想让未来几年的生活如何为这个价值栈的各个不同部分做出贡献。就我而言，我仍然热爱数学。我将永远热爱数学。我将永远热爱找到方法来可视化它并在这个频道上与你们分享。我对你最大的希望是你能找到一种方式来投入你自己的热情。社区从未如此开放，他们会倾听你要说的话。

我这几年能作为业余兴趣差不多稍微看明白几篇 oai 的 math preprint 就满意了（今天起床发现 eth is false 有感）

https://www.bilibili.com/video/BV17C4P6CE5f/

漫士视频字幕转录

清华姚班：卢睿

AI 时代，数学到底该怎么办？

Q：最近后台很多人问我还要不要学数学，你为什么也想专门聊一期这个事？AI 在数学上究竟做到了什么地步？

我的后台有很多热爱数学的粉丝，他们最近经常问我说，自己现在很迷茫，甚至很绝望，不知道到底还要不要学数学，应该怎么办。我自己最近几个月也做了好几期 AI 在数学上突破的解读视频，眩晕瘫坐了好几回，有很多感慨，所以这次咱就好好地聊一下这个事。观前提醒：本期都是我个人观点，欢迎大家友善讨论、表达不同的看法，不喜勿喷。先给不了解的观众科普一下背景：2026 年 10 月，OpenAI 发布了 700 多个数学结果，几乎把前沿数学研究的每个领域都炸了一遍，后来还追加了三个，许多领域被连根拔起。比如调和分析，最主要的几个猜想几乎都被解决完了——王虹因为解决三维挂谷猜想就得了菲尔兹奖，而现在 AI 解决了局部平滑性猜想，从而直接把所有维度的挂谷猜想全都解决了。还有理论计算机里的指数时间假设 ETH 和强指数时间假设 SETH 都被证明不成立，这可以说是直接连根拔起了细粒度复杂度分析（fine-grained complexity analysis）的整个基石。相比之下，之前解决千禧年大奖难题里的纳维 - 斯托克斯方程，简直就是 AI 随便练了个手而已。

人类数学家在这几个月的时间内，突然被这一连串的核爆炸炸得无题可做，无数人开始讨论我们是不是不需要数学家了，很多数学家也开始团结起来抵制 AI。他们说大模型的这个行为是纯粹的算力炫耀，原文叫 demonstration of power；他们拒绝做商业公司免费的审稿人，反对这种不负责任的结果发表，并且反复强调：数学并不是解题，而是在解决过程中所形成的理解，和创造全新理论的工具。所以他们说，AI 公司对这些未知难题的粗暴解决是破坏性的。有些数学家标榜自己是 AI vegetarian，在论文写作、思考和推导当中不使用任何 AI，并以此为荣。

Q：你自己好像也被冲击得很厉害？能先讲讲你原来做的是什么，日常又是什么样的吗？

我自己对这件事情体会确实很深，因为我本人的学术研究领域也被 AI 冲击得很厉害。我博士期间研究的核心课题是深度学习理论，这其实是 AI 领域非常接近于数学的存在，用到的基本工具全都是各种高维统计。你想要做出自己的工作，就得先埋头啃一整套前置的数学知识，理解很多抽象的概念，比如 sub-Gaussian random variable、$\varepsilon$-net covering，还有 chaining 等等，深刻理解背后的含义之后，再去读这个领域已有最新成果的论文。要知道读这些论文的过程是非常痛苦的，因为基本上动辄就是几十页甚至上百页，整篇论文有若干个主定理，每个定理背后是几十个层层嵌套的引理，而且每个引理还有微妙不同的假设。你需要在海洋一般复杂抽象的符号当中抽取出整个证明到底是在干什么、为什么成立、哪里有局限的一种 high level 的理解，然后再尝试自己能不能放松什么样的假设，做出一个更一般一点的结果，乃至于提出一个全新的设定去解释某种机理。

那经常就是一支笔、一本书、一堆草稿纸，在图书馆和工位上一算就是一天，每天看到的却全都是这种东西，大家可以感受一下。几个星期之后，你才算刚刚入门，知道这个领域之前的论文都是什么意思。全程你还要把自己的思考和这些公式推导写在一个巨大的垃圾文件里，方便之后投稿论文。我相信仅仅是听我这样描述，很多观众都会觉得读博做理论研究就像鬼故事一样，而事实上的确如此：清贫、枯燥、苦闷。

Q：既然如此，这些数学研究者把最青春的年纪投进一堆纯粹符号的痛苦推导里，到底图什么呢？

这里有高尚和庸俗的两个答案，而且这两个答案都是真实的。高尚的答案是，因为这个过程有攀登人类智力高峰的骄傲和自豪感。就像攀登珠峰一样，你知道你拥有着最顶级的身体素质和经验，你正在涉足人类前所未有的领域，成为第一个见证山巅的人，并且你还能为后人指明攀登的道路，收获 credit。当你花了很大的功夫，在长久的苦闷之后，突然第一次把整个思路和证明的流程跑通、领悟到解决这个问题的关键的时候，那种通畅感和快感是难以用语言去形容的，会在一瞬间让你觉得之前经历的一切都值得。另外一个庸俗的答案是，通过解决这些数学问题，你就可以发表论文、获得学位，乃至于教职，收获工作、地位和金钱，成为拥有终身教职铁饭碗的教授，金光闪闪，受人尊敬，每天在黑板上讲点数学就能对付完这一辈子。

我不知道其他的理论研究者或者数学研究者是不是也一样，但这些的确是让我坚持下来、甚至热爱这些数学和理论研究的原因。在很长的一段时间内，我也一直想着之后怎么努把力，破解神经网络的谜团，构建起来一套解释深度学习的统计学习理论，继续做研究。但是，AI 来了，大模型来了，它沉重地打击了这条道路。

Q：具体是哪一刻让你意识到这条路变了？为什么你会觉得那些理论成果几乎一文不值了？

首先是没有人证明能比得过 AI 了。我在普林斯顿交换的时候有一个遗留的问题，我和普林的小伙伴一起啃了几个月，没有任何进展，试了很多方法。然后一年多过去了，GPT-5.5 出现了，我想起了这个问题，于是我充值了一个 200 美金的 Pro 会员，把这个问题扔给 AI。短短 40 分钟过去，AI 告诉我它证出来了。我花了几天把证明过了一遍，发现有一个地方有一些跳步，我就跟它说这个地方不对，让它解决、返工，20 分钟之后，这下就彻底解决了。就在那一刻，我静静地看着 AI 噼里啪啦生成几百行的证明，想起我在普林斯顿的那些日子里辗转反侧，走在路上都在想这些问题，茶不思饭不想，时不时灵光一闪就赶紧去尝试，打了厚厚一叠的草稿纸——这一切在现在 AI 噼里啪啦生成的结果面前，就像笑话一样。

我也意识到，现在这个理论的研究成果几乎一文不值了，因为任何一个研究这个问题的人都能像我这样，直接把问题扔给它，给一个提示词，然后就能得到这些结果。我们的这些研究本来就是在一个相对不那么真实的场景里的一个简单的建模，在以前我能说这个结果能有一定的启发意义，但其实我们理论研究者心里都知道，这个论文能有意义，最重要的原因其实是：这个世界能推导出这种理论结果的人没有几个。现在谁有这想法，就能让 AI 去做实验、推定理，那这样的结果将会遍地都是，从而彻底失去价值。就比方说你看看现在的顶会，一次能有几万篇投稿，超过之前好多年的总和。也正因此，很多人预期理论研究的经费之后将会大为减少——反正之后烧 token 问 AI 就行，我还为什么要养人呢？

Q：这种眩晕、失落和自我怀疑，背后指向的是一个什么样的问题？价值又会流向哪里？

我所经历的这种眩晕、失落和自我怀疑，其实就是今天整个数学界、理论界，乃至所有脑力劳动者集体的缩影。AI 接连不断的核爆把一个血淋淋的问题扔到了桌面上，逼我们回答：我们过去引以为傲的理论研究，到底有多少真的是在探索宇宙的真理，又有多少其实只是在靠人类智力的稀缺性，赚取同行评议和职业身份的门票呢？这个世界底层的经济规律是物以稀为贵，所以我们会给顶尖的运动员、艺术家、律师、电竞游戏玩家极高的薪酬甚至社会地位，数学家和其他各种理论研究者其实也不例外。同样地，如果一件事情有好多个流程，那么在所有流程里赚取最多收益、收获最多地位和认可的，往往也是最稀有的、整个环节中最难的那一步是由谁来完成的。

那数学研究这件事有哪些流程呢？北大的袁新意老师在最近一场论坛上，把数学的发展拆成了三个环节，分别是提问、解题和总结。我想再拆细一点：首先你要有一个预先的范式和思想的框架，然后在这个范式里提出重要的问题，接着是解决这个问题、给出证明，然后是理解、消化、阐释、传播，最后是总结并启发一个新的问题乃至框架。在过去的几百年里，这一条流水线上最难最慢的一环其实一直是解题的证明：一个猜想几十年没人证出来，谁证出来谁就是英雄。于是整个数学界的评价体系，包括招聘、晋升、基金、大奖，几乎全都围绕着这一个环节搭建起来。陶哲轩最近把这种状态叫做数学 1.0，也就是很多数学家现在缅怀的那个浪漫的个人英雄时代，它默认的前提就是证明稀缺——证明一个开放问题非常困难、非常罕见，需要大量的人类专长和百年一遇的天才。但现在 AI 把这一环的成本砸到了地板上，OpenAI 说那一批 700 多个结果，平均每个只用了大约三个小时的计算。你想想看，一个数学家一辈子的工作，抵不过轰鸣的算力机器几个小时。那问题就来了：当流水线上曾经最贵的那一环突然变得几乎免费，价值会流向哪里呢？

Q：历史上有类似的事情发生过吗？它们能给我们什么启发？

历史上这种事情发生过很多次，或许能给我们一些启发。印刷术出现之前，抄写是一门受人尊敬的手艺，但后来印刷术出现了。在 1492 年，有位修道院长特里特米乌斯专门写了一篇文章，劝修士们要坚持手抄，说手抄才有灵魂——你看，是不是很类似。再往前，《斐多篇》里还说，哲学家觉得文字的发明是非常有害的，因为它会让人不再去大脑里记忆，大家就都不去记忆了，它会有害于我们的思考。今天还有很多人在工业流水线制作工艺品和食品的视频底下说，你们这样是没有灵魂的。有意思的是，这一篇说应该坚持手抄的文章，没过多久就被印刷出版了。印刷术让复制文本这一环变得廉价之后，出版真正值钱的就变成了值得印的书、能校订编辑的人，以及读得懂书的读者，而手抄文字不再像以前那样地位崇高。

所以我的判断是：数学不会消失，但数学内部的价值体系会彻底重排。我们必须接受而且适应，解题不再是数学研究中最核心的价值，并且回答数学之后应该何去何从的问题。目前数学界和 AI 之间有一种极为紧张的关系，热爱数学的人也感受到非常苦闷和绝望，很多数学家在外人看来有一些非理性的行为，其实这一切的一切，归根结底就在于原来这个价值评估的体系要重新调整，而调整需要时间，大众的认知也还没来得及适应。在当下，一切都完全滞后于 AI 疯狂的发展，所以造成了很多的问题。

Q：比如很多数学家拒绝检查 OpenAI 放出来的那 700 多个结果，这是小家子气、掩耳盗铃的鸵鸟心态吗？

事情没有这么简单，这背后有个很复杂的原因。在数学界以往的习惯里，第一个提出证明的人 A 享有几乎全部的荣耀，哪怕他的证明后来被发现有瑕疵、被 B 补上，又在之后 C 提出了一个简单精美得多的证明，再被 D 凝练、发展成一套全新的视角和工具，B、C、D 三个人都无法依靠这些贡献，在学术界的认知和职业体系里获得什么太大的收益。这是因为数学界是一个极度崇拜智力和 first one takes all 的地方，最高荣誉属于解题者。那你一个 AI，直接把这么多数学研究者的研究经费、毕业论文、长聘课题和菲尔兹奖的题目全都做完了，数学教授们还吃什么？在以往，数学家们阅读这些证明是为了社区建设，确认一个最新的工作是不是确实是重要的进展，学明白精髓，看看能不能自己做出一些突破；但现在 OpenAI 这样直接把一大坨自己也没有完全检查清楚的证明放在网上，数学家们审阅论文纯粹就是帮 OpenAI 免费打工，自己钱也捞不着，名也得不到，可是为了让后人能搞清楚这个证明到底算不算成功，还必须得给一个答案，只能捏着鼻子检查。说实话，让我设想代入一下这些数学家，我也会觉得挺烧心的。

现在有很多怀着朝闻道的精神的数学家在阅读这些证明并且尝试理解，但其实他们的心情是十分悲凉的。因为他们知道，尽管自己过去很多年都在研究这个问题，甚至可能离解决它只差临门一脚，但 AI 来了，抢走了所有的功劳，他们永远没有办法在这个重要问题解决的历史里留下自己的名字或者任何痕迹了。未来像怀尔斯那样，一个人不知道啃了多少硬骨头，突然石破天惊地告诉全世界自己解决了一个几百年的难题——费马大定理——这样的故事将会彻底成为历史。

Q：这种"谁先做出来谁牛逼"的文化，对身处其中的人意味着什么？

绝大部分学习数学、尤其是以数学研究为生的人，是完全不适应这个变化的。大家都习惯了去找难题，第一个把这个题目做出来，然后名垂青史，在潜意识和价值判断里无限推崇做出这个题目的人：你能做出来，我做不出来，那你牛逼，我是菜逼。这种简单粗暴的智力崇拜，和以解题能力对所有个体进行全序比较的文化，我自己当时就深有体会，也听很多数学系的同学吐槽过，说这种氛围让他们感受到窒息、压抑和痛苦。我不知道前些时间那个非常火的所谓"感到 discourage"，是不是也跟这个有关系。其实想想你就会明白，如果你仍然把第一个解决困难的数学问题作为自己价值、意义和学习数学的乐趣所在，而这一点现在又必然地被 AI 无情地碾碎，那么痛苦、焦虑和抑郁就成为必然的结果，不可避免。

Q：如果证明命题、解决具体的数学问题不再那么重要，什么会变得更有价值？

我个人觉得有两样：一是提出新的框架和定义，二是理解、交流和诠释。数学圈里流传着一句老话：好的数学家证明定理，伟大的数学家提出猜想，而最伟大的数学家写下定义。这也正是我想说的。整个数学工作流程的第一步，你需要先有一个基本的范式框架，也就是定义和一整套研究问题的思想。笛卡尔引入坐标系，给了全人类一整套新的思考方式，从此几何问题可以变成代数计算，它的影响远远超过回答任何一道具体的几何题；伽罗瓦为了回答五次方程能不能用根号求解，发明了群的概念，而群论的意义远远超出了五次方程本身；1854 年黎曼在哥廷根做教职报告，把高斯研究曲面时所发现的内蕴几何推广到任意维数，提出了流形和度量的概念；到了 20 世纪，格罗滕迪克重写了代数几何的地基，他形容自己的做法是遇到一个坚硬的问题，不要拿锤子去砸，而是让理论的海水慢慢上涨，直到问题自己被淹没和化开。

在过去，这类工作被默认是高斯、阿贝尔、黎曼、格罗滕迪克这种千年一遇的天才才配干的事情，我们普通研究者的日常是在别人搭好的框架里去解题，比如加一个条件、改一个指数、把一个估计推得更紧一点，然后以此来发表论文，获得教职和自己的营生。可现在，在既有框架里解题这件事被 AI 做得又快又好，所以我认为，如果一个数学家真的天赋异禀、才华横溢，而且依然想要为数学研究添砖加瓦，那么就应该勇立潮头，大胆地去做那些曾经只有开山鼻祖才敢做的事儿。至少目前看来，AI 还不能在这个级别上做到范式级别的创新：一个领域或者研究的问题如果缺乏语料，AI 还是捉襟见肘，没有什么建树。就比方说理论计算机科学的电路复杂度，这个领域人类自己都还一筹莫展，那这个研究方向你会发现 AI 也做不出什么东西。所以人类在开疆拓土上，我认为还大有可为。尤其是现在你有了 AI 之后，理解前人和其他领域方向的抽象论文的成本会大为降低，你可以直接跟最顶级的 AI 对话，chat with the paper，快速理解一篇论文乃至一整个领域的思想、方法和知识，我觉得这将成为未来大家值得工作的一个方向。这就好比说以前做一个蛋糕就要花一整天，所以大家都在比谁能把蛋糕做得又快又好、裱花最复杂，拼手速、拼花样；现在突然有了一台机器，你给它看一个照片、给个菜谱，它几分钟就能做出来一个完美的蛋糕，那这个时候卷手速、卷裱花意义就不大了呀。真正值得想的问题就会变成：还有哪种食物组合的菜谱没有人写过呢？甜品这种形式除了蛋糕，还有没有可能有各种完全没有想过的形态呢？

Q：那新的菜谱、新的框架和定义，究竟从哪里来？

我觉得首先就是要回到真实的世界，面向真实的需求和真正重要的问题。清华的薛金鑫老师最近写了一篇长文，他的一个核心观点是：数学界脱离现实太久了，在越来越细分、越来越技术化的问题里自得其乐，自己提猜想、自己写证明、自己评审。数学家为自己辩护的时候经常说的一句话是，我现在做的东西虽然没有用，但过几十年说不定就有用啊，比如黎曼几何后来被爱因斯坦用在了广义相对论里。可薛老师提醒我们去翻一翻黎曼 1854 年那篇报告的原文，他明明白白地写着：几何学的命题无法从一般的量的概念中推导出来，空间之所以区别于其他可以设想的三维延展量，靠的是那些只能从经验中得来的性质。黎曼想的从一开始就是真实的空间到底是什么样子的。历史上开辟全新领域的数学大家几乎都是这样从现实当中找到入口的：傅里叶为了理解热传导方程，发明了傅里叶级数；高斯在汉诺威主持大地测量，在这个过程当中系统地研究了曲面的弯曲，所以得到了高斯绝妙定理，开启了微分几何；庞加莱研究三体问题，开出了动力系统的定性理论，后来的混沌和拓扑学都从这当中受益；冯诺依曼和摩根斯特恩从人的经济行为出发，写出了博弈论；香农在贝尔实验室研究通信工程，所以 1948 年他的一篇论文开创了整个信息论。薛老师还引了 Caffarelli 的一段话，大意是纳维 - 斯托克斯方程是一个简单的模型，它的解是不是光滑在数学上很有挑战，但在科学上的价值却没有那么大，因为流体力学这些人真正头疼的是湍流，而数学界研究这个的人反而很少。

所以薛老师文章里有一句话，我觉得可以作为这一部分的总结：AI 时代稀缺的不是证明，而恰恰就是判断力——判断什么问题值得问、什么框架值得去建，而这种判断力最好的来源就是对真实世界的感知。现实中急需数学建模和深入分析的问题太多了，像刚才说的湍流、生命系统、气候、经济，还有我自己博士念念不忘的：深度学习到底为什么能 work，线性非线性的叠加为什么能够理解这个世界的规律。虽然说数学是一个纯粹理性抽象的符号系统，但构建什么公理系统、描述什么现象，却是深深扎根于现实世界的。比如数学里有一个东西叫做广义函数，教科书上的定义是"测试函数空间上的连续线性泛函"，光是理解这句话的每一个词就需要不少前置知识，可它背后的一个具体需求其实来自于物理，就是瞬时的冲量。真实的碰撞当然需要时间，但如果你只关心物体挨了这一下之后怎么运动，我们就会忽略内部的复杂细节，把它近似成一个瞬间发生、同时保留这一下造成的动量变化，也就是冲量。比如 $100\,\mathrm{N}$ 的力持续 $0.01\,\mathrm{s}$，或者 $1000\,\mathrm{N}$ 的力持续 $0.001\,\mathrm{s}$，它们产生的冲量都是 $1\,\mathrm{N\cdot s}$，画在图上就是一块越来越窄、越来越高，但面积保持不变的长条。我们希望把这个过程推到极限，作用时间趋近于零，但作用效果却依然保留，普通的函数无法表示这样的理想化对象，所以数学家就拓展了函数的概念，发展出了狄拉克 $\delta$ 和广义函数理论，它在物理学、偏微分方程、信号处理、量子力学和概率论中至关重要。

再比如说 18 世纪的法国，有个非常实际的工程问题：挖出来的大量泥土你要运到其他地方填坑，那你应该怎么安排运输路线，才能让总成本最低呢？数学家蒙日把各个位置的土量抽象成分布，把搬运过程抽象成分布之间的匹配关系，从而开创了最优传输理论。后来数学家进一步发展出衡量两个概率分布有多大差异的 Wasserstein 距离，成为现代概率论、偏微分方程乃至机器学习的重要工具。那这么抽象的数学理论，你看它最初的起点其实就是怎么运土是最省钱的。

Q：很多数学家担心 AI 解题太快会杀了下金蛋的母鸡，你怎么看？消化 AI 已有的证明真的有意义吗？

除了寻找全新的框架，我觉得深入消化目前 AI 已有的证明也非常有意义，这绝对是一座金矿。很多数学家担心而且指责说 AI 解题这么快会宰杀下金蛋的母鸡，这个说法的前提是：一个好问题的价值来自于人类为了解决它而发展出来的新思想和新工具——费马大定理本身没有什么用，为了证明它而发展出来的一整套模形式和椭圆曲线的理论才是金蛋，那现在他们说 AI 一下子把题做完了，鸡就没了。我觉得这个担心有它的道理，但不能这么武断。短期内被宰杀的所谓"鸡"，其实根本不是数学理解本身，而是数学家的职业体系。打过数学竞赛的人一定明白一件事：一个证明只要是对的，它就一定以某种形式深刻触及了整个问题中它最困难的那个原理的核心，一定是绕不过去的，如果你绕过去了，这一定是伪证；证明本身越短越精妙，这个方法所蕴含的洞见和拓展意义就越大。

所以说只有两种可能。第一种，这种猜想真的如大家的品味所料，背后藏着重要的新知识和方法，那么不管 AI 是怎么做出来的，只要它真的做出来了，它的证明里一定包含着本质上重要的东西、方法和思想，只等人去把它挖出来然后理解。虽然说现在 AI 的写作的确很糟糕，但一定是有新东西的呀——这个题大家没做出来，它肯定把一条路走通了呀。第二种情况，就是你发现这个证明里什么深刻的东西都没有，那只能说明人类当初提这个猜想的时候就想多了，以为它触及了深刻的原理，其实就是一个小小的 corner case，一厢情愿。我觉得在 AI 目前一视同仁的狂轰滥炸下，尤其是它这种神一般的找反例能力的考验当中，很多数学猜想被证明纯属人类想多了。比如雅可比猜想，1939 年提出，人类用了 80 多年试图证明它是对的，结果今年夏天有研究者借助 AI 直接给出了三维情况下的反例，只有几行式子，这顺便也否定了三维以上所有维度的雅可比猜想。这种筛选和快速的排除，我觉得对数学研究绝对是有益的。你像埃尔德什的单位距离猜想也是一样，大家花了几十年都想证明它是对的，而 AI 转头就去找反例。AI 在数学证明这件事情上不一定比人聪明，但它没有心理惯性，没有对权威的敬畏，也更加有耐心。

有很多人批评 AI 只是在取人类知识的凸包，但很多这些人没有认真地读过 AI 的证明。单位距离猜想的这个否定理，AI 把代数数论里看似毫不相关的工具搬进了离散几何，Alon、Gowers 等人随后核验并且简化，并把它放回了整个领域的脉络里。为什么一个关于平面上点和距离的问题会跟代数数论有关呢？这背后很有可能藏着一个我们没有看清的结构，而这样的结构往往就是通向一个全新数学的入口，不是吗？

Q：有没有已经发生的、让人觉得可喜的例子？为什么说阐释应该被当成一流的数学贡献？

很多数学家已经在做这种淘金的工作，我觉得非常可喜的一个例子就是西格尔零点问题。这是解析数论里困扰了数学家近百年的问题，它是广义黎曼猜想的一类潜在反例，因为它的存在可能使很多重要的定理都只能写成无法有效计算常数的形式。10 月初，OpenAI 放出了一份九页的证明，声称西格尔零点不存在。之后不到两周，Bill Banks 写了一份详细的阐释，Biskare 在此基础上给出了一个概念上更简单的证明，把原证明里复杂的插值和行列式分析换成了鸽笼原理和一个经典的定理，陶哲轩自己也在博客上写了一份完整的证明梗概。原本只有 AI 知道的东西，就这样一步一步变成了人类能理解、能传授、能接着往下做的知识，这就是很有意义的。我觉得如果我们让 AI 加强它所写论文的可读性，在适合人类数学家理解习惯的方向上把它做好对齐，然后数学家也踏踏实实地去消化这些金矿，一定会有非常重要的进展。数学不会死亡，而这些解题的过程也没有粗暴地抹杀理解。

为什么现在的数学家很多时候不做这件事呢？还是跟评价体系有关，因为他们做这些事情，大家只会觉得你没有解题啊。所以我觉得未来的评价体系需要给这样的人更多的认可和 credit。陶哲轩提出数学 2.0 就要提高阐释工作的地位，Grant Sanderson 建议仿照千禧年大奖难题设一份"开放阐释问题"的清单，说的都是这件事：在 AI 时代，把一个没人看懂的证明变成一条人能走的路，本身就是一项一流的数学贡献。所以这就是第二个之前被严重低估的数学工作流程——解读和阐释。

Q：可"讲清楚"这件事在数学界好像一直不太受待见，你自己读数学的时候是什么感受？

很巧的是，这也是我一直在做的事情。其实我自己读数学教科书和大佬论文的时候是非常痛苦的。今天有很多数学家批评说 AI 隐藏自己的思维链，写出来的东西晦涩难懂，我完全同意，但我感觉我读人类的数学书也没好到哪里去呀。满篇都是什么"注意到""易证""显然"，至于人家当初是怎么想到的，你只能自己瞎猜。绝大多数数学书一上来就是干巴巴地排出几文大钱，极为抽象的定义，没有什么例子讲解为什么要在那么细微的逻辑定义上搞出那么多微妙的区别，然后接着就是一大片你也不知道为什么要关注的性质和需要证明的定理。我不知道有多少人跟我一样有相同的感受，有相同感受的人可以打在公屏上。所以杨振宁就说，数学家写的书只有两种，一种是看了一页就看不下去的，一种是读了一行就看不下去的。但我也知道，我周围确实有些很聪明的大佬，他们可以在教科书完全不展开背后思维链的情况下自己领悟所有的逻辑，感觉这一切都非常的自然，所以这群大佬可以完全顺畅互通地进行这种仙家对话。这种感觉就像 $NP$ 和 $P$ 问题一样：大佬就是 $NP$ 图灵机，而我就是个 $P$（屁），只能听他们一堆抽象的字符串飞来飞去。

在数学界内部，我不知道很多人是不是不了解：只要不是特别具体的小同行，彼此之间他们的记号都完全不同，而且很多人也不屑于去做这种普及化的传播，一开口就只能是一整套抽象的黑话。薛金鑫老师在文章里也指出了这一点：数学家攻击 AI 的理由是没有让人类理解它们，可是人类数学家内部此前的理解也非常有限，一篇上百页的论文，真正逐行看过细节的可能只有一两个审稿人，其他人只是信任他们的判断，他把这叫做"信任外包"，不同领域之间更是极少相互理解。我个人觉得，这很难说跟数学里这种过度推崇解题而轻视阐释和传播没有关系。

Q：那"隐藏思维链"这个传统本身又是怎么来的？是数学家故意的吗？

如果我们把时间拉长到整个数学的历史，隐藏思维链这个传统在数学界其实由来已久。高斯就信奉大厦建成之后要拆掉脚手架，只给你看最终光洁的证明；阿贝尔吐槽他像一只狡猾的狐狸，用尾巴把自己在沙地上的足迹全都抹掉了。这背后的原因其实很复杂：那个时候没有完善的知识产权保护体系，所以很多数学家要做的都是一种接近零知识证明的事——我要让你知道我证明了我的解法是对的，但是你不能从中学习到我解决问题的任何思维方法的绝活儿，就是所谓防御性证明。那时候很多数学家其实本质上就只有那么一两个绝活，但这一两个绝活可以系统地在一系列领域和问题里都发挥作用，能吃一辈子；如果这玩意儿被别人、甚至是更厉害的大佬学去了，那自己就完蛋了。所以从这个意义上来说，数学家这些密不外传的解题心法，就和一家餐馆的独家秘方，或者说魔术师一个魔术的表演流程，本质上是非常类似的，隐藏思维链也是情理之中。当然，有些数学家隐藏思维链也未必是故意为之，很多时候只是他们自己的习惯，觉得我已经把解决问题的流程确凿无误地完整展示了，那我还要说什么呢？大家只需要 appreciate 这种正确性就够了。而在众人"他到底怎么做到的""他怎么想到的"这种猜测中，数学家甚至会得到某种隐秘的满足。

Q：在这样的环境里，你给自己找的位置是什么？历史上有没有把"讲清楚"做得很好的人？

总的来说，我的确是很早就认识到，在啃那些前沿数学的硬骨头以及解题这件事情上，和最厉害的顶级大佬相比我根本不能望其项背，也不是那种看到数学教科书的推理就能理解所有背后微妙动机的天才。我自己很认同顾森（Matrix67）所说的一句话：我不一定是最会解题的那个人，但我可以是把解法讲得最漂亮的那个人。把一个解法或者说一个成型的学科体系讲清楚绝非易事，很多老师其实也没做好这件事儿，无论是在课堂上还是在直播里，除了照本宣科，也不知道怎么用普通人能理解的话讲清楚数学研究。但数学界对此似乎很不屑，觉得咀嚼别人剩下的东西没有 credit，有什么意义呢？这些讲的东西太简单，远不如自己去攻城拔寨、解决未解的数学问题来得更帅和有水平。我自己就听过很多数学系的同学这样评价过我的视频：哎呀漫士，天天就讲点小儿科这种级别的东西，凭什么有那么多流量。

可是历史上最出色的科学家往往也是一个非常好的表达者。欧拉的推理过程就一直写得清清楚楚，展现了很多尝试的细节和失败的思路，拉普拉斯就说，读读欧拉吧，他是我们所有人的老师；法拉第在英国皇家研究院给孩子们讲《蜡烛的化学史》，一讲就是很多年；还有希尔伯特，20 世纪最讲究形式化的数学家之一，他和康福森一起合写过一本《直观几何》，满书都是图，人都能看得懂；费曼的物理学讲义非常的平实，到今天还是经典。Thurston 还专门写文章反思过自己的经历：在 70 年代，他在叶状结构领域短时间内证明了一大堆定理，结果没过几年这个领域就几乎被清空了，研究生也不再进来了，因为大家觉得问题都被他做完了，他的论证又很难懂；所以后来做几何化纲领的时候，他就花了很大的力气去写讲义，把自己的思路讲清楚，这样才围绕着它长出了一整个研究的群体。今天的 AI 一夜之间清空了好几个细分领域，面对的是一模一样的问题，你也难怪这些数学家会非常反对这种行为了。

所以我对自己的定位其实一直是一个花园的向导，或者说是像艺术馆、展览馆里头一个领你走的阐释者。我不追求站到山巅，但我喜欢在地基之间发现联系，把原本站在门外的有缘人领进来，让他们能看到里面的美妙。数学专业人士也完全可以在更高的层级做类似的事情，比如陶哲轩那份西格尔零点的证明梗概就是一个顶级的示范，说不定正是这种工作会启发出前面所说的那种开创框架级别的数学研究。也正因此，我非常认同 3Blue1Brown 作者 Grant Sanderson 的说法：也许我们是时候给出色的数学阐释者更高的位置了。我相信 Grant 绝对不是借机抬高自己，而是这的确是现在 AI 冲击下数学研究急需完成的转变。

Q：围棋被 AlphaGo 冲击之后的那段历史，能给数学什么样的参考？

某种意义上，人类数学家的现状就像极了当年被 AlphaGo 打服的围棋棋手。2017 年，世界排名第一的柯洁 $0:3$ 输给了 AlphaGo，第三局中途他一度离席，在镜头前忍不住落泪，他说 AlphaGo 就像围棋之神，和 AI 下棋是一种密不透风的绝望。数学家的困境和当年的围棋棋手非常类似，甚至更糟糕：因为虽然人跑不过高铁，但人的短跑比赛还有价值；围棋棋手下不过 AI，彼此 PVP 也还有看头，但数学家不能表演解题 PK 吧。当人类智力巅峰的尊严被粉碎之后，接下来该何去何从呢？围棋后来的路给了我们一些很有价值的参考，那就是职业棋手开始用 AI 去训练。一项发表在 PNAS 的研究分析了 1950 年到 2021 年职业比赛里的 580 多万步棋，发现超人类的 AI 出现之后，人类棋手的决策质量其实显著提高了，新颖的下法也变多了：2018 年有 88% 的对局出现了历史上从来没见过的招法组合，而在 2015 年这个比例只有 63%。围棋在被 AI 冲击之后的历史，很大程度上可能就是数学值得借鉴的未来，那就是理解 AI 的棋路，并且内化到人类自身。

2016 年 AlphaGo 和李世石的第二局，第 37 手下在了五路上的一个尖冲，现场解说一度以为是失误，AlphaGo 自己估计人类棋手下出这一步的概率大约只有 $1/10000$，而后来大家才明白，这手改变了整盘棋的格局。从那以后，"AI 为什么这么下"成为了职业棋手和解说员最重要的工作之一，像开局早早点三三这种曾经被视为俗手的下法，就是这样被重新理解、接纳甚至推崇的。而第四局李世石那一手被称为"神之一手"的第 78 手则提醒我们，再强的 AI 也有盲区，只有真正看懂它的人才能找到它的盲区。如果你想象一下这些棋手说，AI 下的棋没有灵魂，AI 不能理解围棋当中的这些情感和这些绝妙的事情，所以我们不去学 AI，那这些棋手会错过多少东西呢？魏志威老师打过一个比方：数学研究就像大航海，以前我们只有小木船，现在有了一个大的蒸汽轮船，我们可以去更远的地方；人脑独自思考和借助 AI 思考，就像是游泳和坐远洋巨轮的区别。可是巨轮开到了新大陆，我们仍然需要专业的人下船去看看这片土地上有什么，或者说 AI 这一步神之一手的妙招到底妙在哪里、为什么成立、里面有什么意想不到的启发、能不能连回到我们已知的世界、改变我们对已有所有这些学科的认知。这份工作你会发现还是只能由真正理解数学的人来做。

所以数学家不会消失，相反他们会变得更重要。一个从来没有接受过系统数学训练的人，你哪怕用 AI 问出了 $NP \neq P$ 的证明，对他来说也毫无意义和价值，因为这几百页论文全是他根本不能理解的东西，他也无法给同行讲明白这套证明的妙处到底在哪里，他所有的 credit 只是输了这段提示词，同时运气很好，遇上了一个能找到答案的随机种子。在这个角度上，我们当然还需要学习所有已有的数学知识，只不过这个心态真的要转变：它的意义不再是以前我们那种习惯的，站在人类智力的巅峰去探索最前沿。我觉得这种心态的转变可能需要很长的时间。

Q：所以回到开头那个问题，现在还要不要学数学？如果要，方法上该怎么变？

我的回答是：当然还是值得学的，但是方法可能要改变。Grant Sanderson 有一个比方：机器举铁肯定能比你举得更重，但你依然值得去健身房，因为肌肉长在你自己身上。数学训练是给你的，是寻找一种抽象的分析结构、拆解问题的能力，而这些能力会跟着你去到很多其他地方，任何一个领域需要严密思考，数学的训练就有价值。北大的袁新意老师也说，中小学的那些题做出来本身没有价值，但之所以还要做，就是因为那是一个自我修炼的过程，他甚至建议低年级博士生的第一篇论文还是要用古法亲手做一遍。如果目标只是比别人更快地解出更难的题，那这条赛道确实已经被 AI 占满，所以更值得练的是前面说的那几样：真正地理解一个东西为什么成立，问出更好的问题，对什么是重要的、什么是美的、这种框架和理论有自己的品位，把数学和真实的世界联系起来，以及用好 AI。袁老师讲他在清华上课的经历，他直接告诉学生，作业题你们都可以让 AI 生成答案，但那样你们什么也得不到；把 AI 当成助手，自己主动思考，不懂的地方去问它，学习效率会高很多，而且理解也会深刻很多，这才是用 AI 的方法。

所以说句实话，如果你的目标是一份纯数学的教职，未来几年这条路大概率会更窄，评价体系正在剧烈地变动，而这些成本会最先落在研究生、博士后这些年轻人身上，就像我一样——我也被迫暂时放弃了博士期间一直追求的理论深度学习的职业路径，这都是没有办法的事情，时代的一粒沙落到每个人头上就是一座山。但是我觉得我们还可以继续保持热爱，同时保持理性判断，多给自己留几条路。当证明变得廉价的时候，理解和阐释就变得更加稀缺，所以我希望科普能在未来获得更多的认可和地位。当然，AI 的讲解也会越来越厉害，所以单纯讲清楚不再稀缺，而稀缺的会是一种信任感。Grant 有一个判断我很认同：教育真正的瓶颈往往在于人愿不愿意去学、能不能坚持下去，而人愿意去学一样东西，常常是因为有一个具体的、他信任的人，让他相信这件事情值得花时间。多伦多大学的 LT 描述过一个他认为不太可能、但并非完全不可能的可怕的未来：整个数学行业只会按按钮不读输出，然后 50 年之后没有人再去做数学，连机器都不做，自己也已经不懂这个领域了。那我觉得，科普能做的就是让这条路上一直有人，一直有人懂它在说些什么，而这些也是那些大而化之的外部知识科普无法做到的事情。我们这一代人也许将永远无法成为第一个登上山巅的人了，但山顶的风景还需要有人看懂，从山脚到山顶的路也还有人要画出来，留给后来的人。而这件事，我会一直做下去。漫士沉思录，学海引路不辛苦，我们下期再会。

邓煜（芝加哥大学数学系教授、2026 年菲尔兹奖得主）

Mathematicians in the time of AI

问：邓教授，感谢您接受邀请。您近期在世界各地进行了密集的学术交流，关于数学与人工智能的快速演变，您的核心立场和主要观点是什么？

答：非常感谢大家的邀请，我很高兴能在这里分享我关于数学与人工智能这一快速演变话题的一些思考。自 8 月 31 日以来，我一直在西班牙、法国、德国、马萨诸塞州剑桥等地频繁旅行。在此期间，各地都在热烈讨论这些新进展对数学界及相关领域产生的深远影响。首先，我想明确的是，我在这里使用的“我们”一词，并非代表整个数学界，而是代表我自己以及那些认同我观点的数学家们。我的核心观点可以概括为以下几点：第一，我们热烈欢迎人工智能技术在数学研究中的应用。它现在已经提供了帮助，未来也将发挥更大的作用，将其作为一种工具来使用是一个非常好的主意。第二，我必须强调，人工智能应当被用作工具，这不仅限于数学研究，而是在更广泛的层面上，AI 的存在和演化的唯一正当理由，是为了人类社会的福祉，为了增进我们对世界的理解，以及为了提高我们的生活质量。第三，我们相信，只要使用得当，AI 工具将使数学研究和整个数学界受益。最后，针对最近一个月发生的事件，虽然大型 AI 公司开发了最新的闭源模型，但其中伴随了一些问题，而面向数学的开源模型（open models for mathematics）似乎是更符合我们数学界利益的替代方案，这也是今天许多全球团队正在努力的方向。

问：您提到上个月某大型 AI 公司宣布其模型解决了数百个数学开放问题，您如何客观评价这些证明的数学价值以及该公司的发布行为？

答：大约在 10 月 6 日，某家大型人工智能公司宣布，其闭源模型成功解决了数百个数学领域的开放性问题，并在 GitHub 上以 PDF 文件的形式发布了这些证明。当时，只有不到 $20\%$ 的证明被形式化（例如使用 Lean 进行验证），其余的仅仅是 PDF 文档，且许多写得并不完善。对于这一点，我的观点是，我们必须将数学内容本身与该公司的商业实践区分开来。就证明本身而言，我非常欣赏它们的整体价值。尽管许多证明写得不够好，且并非全部经过 Lean 的形式化验证，但它们确实具有重大的数学价值。我亲自查阅了其中的几个证明，其中一个扩展了我关于玻尔兹曼方程（Boltzmann equation）推导的证明，它不仅包含了一些真正出色的新思想，还改进并简化了原有的证明过程。另一个让我感到震惊的发现是，该模型证明了超临界薛定谔方程（supercritical Schrödinger equation，注：字幕识别为 shunting equation，根据数学背景应为 Schrödinger）在开集上的爆破（blow-up）现象，且以正概率发生。这直接证明了我之前提出的一个猜想，并且完全颠覆了我在此类问题上的直觉。只要这些证明最终被证实是正确的，我确信我将从中学习到大量的新技术。然而，另一方面，我们必须审视伴随这些证明发布的行为。如果这些证明是凭空出现的，我们当然会感激；但如果该公司的相关行为存在问题，我们就必须对此展开严肃的讨论。

问：如果将 AI 模型视为一位“虚拟研究员”，您认为它在哪些方面未能遵守学术界既定的科研标准？

答：许多人会这样描述：AI 模型就像一位虚拟研究员，它阅读了数学界以往的所有文献，向数学家学习证明和思想，并通过整合或扩展现有思想来发展出自己的新想法，进而开展研究并撰写论文。这是一个很好的类比。但是，如果我们将 AI 模型视为一名研究员，那么它在原则上就必须遵守学术界的科研标准。首先是分享思想与过程的标准。当人类研究者证明了一个重大结果时，我们会邀请他们举办讲座或系列课程，详细解释证明背后的关键思想、这些想法是如何产生的，甚至是他们经历了哪些失败的尝试。对应到 AI 模型，这相当于要求它们提供详细的“思维链”（chain of thought），即解释它是如何思考的、得出了什么结论，以及最终是如何形成解决该问题的特定想法的。其次是正确归属思想来源并避免剽窃（scooping）的标准。最近我听到多位数学家讲述类似的经历：他们与某个 AI 模型讨论了自己的想法，AI 学习了这些内容，随后在该公司的最新发布中，出现了一个使用几乎完全相同想法来解决问题的证明，而这个问题正是这些数学家一直在研究或即将发表的。这种做法显然不符合学术规范。最后是确保正确性的标准。人类数学家在发表成果前，会尽其所能地确保其正确性，这是研究者的基本责任。对于 AI 模型而言，公司本可以在发布前使用 Lean 等工具对所有证明进行形式化验证。尽管目前 Lean 仍存在一些局限性，但大多数人都接受经过 Lean 验证的证明是正确的。如果公司没有尽最大努力去验证就匆忙发布，甚至发布了错误的证明（事实上，确实有多个案例在发布一天后就被撤回了），这就严重违背了学术界的正确性标准。

问：从商业公司和数学界用户的角度来看，目前这种闭源 AI 模型的使用模式存在哪些不公平或值得警惕之处？

答：有人可能会辩解说，这是一家商业公司，因此不需要遵循学术标准。但如果我们将其定位为商业实体，我们就必须审视它对作为用户的数学家们究竟做了什么。首先，我们需要付费才能使用这些模型，而公司在提供服务的同时，会收集我们的输入数据，并将其用于训练下一代模型。虽然理论上存在一个按钮，允许用户选择禁止其输入数据被用于训练，但很多人并不知道或没有点击它，这意味着公司实际上正在利用数学界的数据来迭代其产品。其次，这就是一个典型的“反蒸馏”（anti-distillation）与功劳独占的问题。科学界一直以来都是开放的，我们公开分享论文、阐述和思想。AI 公司免费从科学界汲取了所有这些公开数据，将其转化为私有数据，然后利用这些私有数据训练出更强大的模型，去解决我们数学界自己的开放性问题，并独揽所有的功劳和声誉。更矛盾的是，当其他人试图对这些公司的模型进行蒸馏或学习时，他们却以各种理由拒绝。这种模式的结果是：公司赚取了金钱，获取了所有数据和模型的控制权，并赢得了所有的声誉；而作为消费者和用户的数学界，不仅付出了金钱，还失去了对自己贡献的掌控，最终一无所获。我不知道这是否听起来像是一笔对数学界有利的交易，但我相信没有人会愿意接受这种不公平的条款。

问：那么，在您看来，什么是 AI 在数学研究中应当遵循的“正确使用”方式？

答：尽管我没有一份非常详尽的规则清单，但基于上述发生的事件，我认为“正确使用”的核心在于：AI 工具应当留给用户使用，而 AI 公司不应越俎代庖取代用户的角色。这里的“用户”不仅限于传统意义上的职业数学家，而是包括任何对数学感兴趣的机构和个人。例如，已经有高中生利用 AI 证明了某些流形定理的例子，因此，任何致力于数学探索的人都应被视为用户。在正确使用的框架下，用户应当拥有充分的选择权，能够真正决定是否允许其输入数据被用于模型训练，并且这种选择必须得到技术上的切实保障。我曾与多位 AI 技术专家探讨过，他们表示，在技术上实现所有输入的可追溯性（traceable）是完全可能的。这一点至关重要，因为如果 A 向 AI 提供了关键想法，而 AI 随后将这些想法用于帮助 B 解决问题，B 可能会误以为这是自己提问的功劳。但如果输入是可追溯的，我们就能回溯到 A 的贡献，从而以公平的方式决定功劳归属和优先权。此外，正如我之前提到的，AI 证明背后的思想和思维链应当被公开。这不仅是为了公平地分配功劳，更是为了让整个数学社区能够从中学习，理解证明的深层逻辑，并在此基础上激发新的思想。

问：面对闭源模型在合规性和公平性上的种种问题，数学界是否有可行的替代方案？

答：我们当然希望开发此类 AI 工具的公司能够理解上述“正确使用”的意义，并提供符合这些标准的工具。但这往往只是一种愿望，我们无法保证总能如愿。如果闭源公司无法或不愿提供这样的工具，我们完全有理由寻求替代方案。其中一个极具潜力的选择就是面向数学的开源模型（open models for mathematics）。这也是本次会议的核心目标之一，目前全球已有多个团队在致力于训练和改进这些模型。我必须坦诚地指出，目前开源模型在数学能力上仍然远弱于大型公司最先进的闭源模型。但是，它们必然会变得越来越强大。特别是如果数学界能够团结起来，通过提供高质量的数学数据、进行针对性的预训练和后训练，专注于数学领域的特殊需求，这些开源模型就有机会在数学研究方面迎头赶上，甚至在特定领域超越当前的最佳模型。这里有一个关键的问题值得整个数学界思考：假设我们拥有一个具备透明度、数据可控性、可追溯性以及公开思维链等所有优良品质的开源模型，并且它的实力在 6 个月后达到了当前最佳闭源模型的水平。那么，对于整个数学界而言，早 6 个月还是晚 6 个月获得这种能力，真的有那么重要吗？我认为答案是否定的。无论如何，当我们获得这些顶级模型生成的优美证明时，我们仍然需要去理解它们，从中学习，并发展出新的思想。因此，从一开始就采用符合“正确使用”原则的开源模型，对社区的长期健康发展是绝对有益的。

问：最后，您对未来人类数学家与 AI 共同探索数学的宏观图景有何愿景？

答：我对未来的愿景是人类与 AI 在数学探索中实现共同进化。目前，AI 可以向人类学习思想并发展出新思想；同时，我们也可以理解 AI 的证明和思想，并在此基础上发展出人类自己的新思想。这是一种双向的促进。我们可以将数学的领域想象为一个无限的空间，没有边界。在这个空间中，人类（可以看作是小黑圈）一直在徒步探索，并发现了一些“奇迹”（wonders，可以看作是绿色三角形）。这些奇迹可以是单个定理、定理链、理论或是理论之间的关系，即我们在整个数学中感兴趣的任何事物。我们只能看到附近的奇迹，而远处的奇迹只有当我们靠近时才能被发现。现在，AI 就像是一辆强大的交通工具，它能让我们走得更快、更远，到达以前仅靠人力无法企及的地方。更重要的是，我们可以“驾驶”AI 去探索更遥远的未知领域。AI 可能会自行探索，但除非我们跟随 AI 的轨迹，否则我们无法知道那里是否存在我们感兴趣的“奇迹”，因为最终是我们来决定数学中什么是值得关注的。因此，未来的探索模式将是：我们跟随 AI 的轨迹，寻找奇迹，并决定前进的方向。我们将通过提出新问题、引入新思想或绘制新路线图来引导 AI 进行新的研究。在这个过程中，我们始终是决策者，决定我们欣赏什么样的“奇迹”，并不断为 AI 引入新的指导。AI 将成为帮助我们进行这种更深层次、更广阔探索的强大工具，带领我们走向前所未有的数学新境界。谢谢大家。

陶哲轩（2006 年菲尔兹奖得主）

证明丰裕时代：我如何理解数学、人工智能与人的未来

——关于数学发现、形式化证明、人的理解、教育、学术制度与公共利益的讨论

编订说明：本文依据五份截至 2026 年 11 月 2 日的材料，改写为以陶哲轩为叙述中心的第一人称综合文章，而非陶哲轩实际发表过的单篇作品或逐字引语。原材料包括：2026 年 10 月 22—23 日哈佛大学数学科学与应用中心（CMSA）“人工智能时代的数学研究”峰会报告；克里斯托夫·赖辛格等六位作者于 10 月 28 日完成的《人工智能赋能世界中的数学科学》预发表稿；吉里娅·拉纳德 10 月 29 日发表于我博客的客座文章《人工智能、数学、教育与公共物品问题》；弗兰克·卡莱加里 11 月 1 日发表于我博客的客座文章《数学已经改变，我们就应当据此行动》；以及卡尔蒂克·C. S.、阿米特·萨海、薛杰 11 月 2 日发表于我博客的客座文章《人工智能时代的无我数学》。下文凡涉及这些作者的个人经历、判断或研究报告，均予以明确说明，不将其冒充为我的亲身经历。涉及 2026 年研究突破和产品价格的数字，保留材料原有的时间范围及其“声称”“估算”“未经同行评议”等限定。

一、数学究竟发生了什么变化？

如果要概括 2026 年数学界发生的事，我会说：我们正在由一个“证明稀缺”的时代进入“证明丰裕”的时代。数学始终是人类精神优美而有力量的表达：它既因自身而值得探索，也是人类描述、预测、理解世界的基础。数学支持科学和技术，人工智能反过来又建立在数学与理论计算机科学、统计学、工程学之上。现在，数学问题已经成为训练和评估前沿人工智能推理能力的重要环境；从这类环境中成长起来的模型，也开始贡献数学结果。这种互相促进的关系可能让我们探索此前不敢想象的领域，但也会迫使我们重新思考数学研究如何生产、验证、传播、评估、资助以及传承。

我不愿把这种转变说成“数学终结”。10 月 6 日，OpenAI 一次发布超过 700 篇研究稿件——较具体的统计是 719 篇，划分为 372 个结果家族，来自大约 4000 道尝试过的问题，其中约 300 篇附有 Lean 形式化成果，3 篇在一天内撤回。它确实是一个分水岭，但不能因为模型能够在一系列领域取得突破，就说数学已经被解决。2026 年 9 月的纳维—斯托克斯结果尤其容易引起误解：材料所述的是一个有关受迫方程爆破的重大解题主张，包含自然语言论证及 Lean 检查版本，但所称结果与千禧年问题要求的命题之间存在语义对应争议，而且当时尚未完成独立同行评议。原稿中一个系统花费约 88 小时、动用约一万代理、生成约 1300 亿输出词元，后续形式化又使用约 17 小时。昂贵的计算和形式验证都不能自动消除“机器究竟证明了哪个命题”的问题。重要的是，我们不能把公告、通过特定验证的形式命题、被数学界接受的定理和公众所理解的数学突破混为一谈。

这些能力的增长确实惊人。2026 年 5 月，AI 给出针对厄尔多斯单位距离猜想的反例；7 月，材料记录了与格罗滕迪克问题、三维雅可比猜想相关的反例；8 月涉及非 sofic 群的构造；9 月有费马大定理的机器形式化和纳维—斯托克斯主张；10 月的大规模发布还涉及唯一游戏猜想、准黎曼假设、整数乘法算法、CM 阿贝尔簇上的霍奇猜想，以及关于卡凯亚猜想、指数时间假设和杨—米尔斯问题的新主张。此处各项的证据地位并不相同，有的是已经核查的形式化，有的是未评审的手稿，有的是尚待解释或可能需要修订的声明。报告还记录：曾有三个手稿因符号错误失效；著名难题清单上的快速成果往往需要检索旧文献，避免把旧结果误称为新发现。数学不因一则公告而闭幕，恰恰相反，每一项真正解决的问题，都可能打开另一片更广阔的研究地域。

即使只看传统基准，进步也足以改写我们的预期。国际数学奥林匹克在 2025 年出现 35/42 分、金牌水准的模型成绩，2026 年又有多个 42/42 的报告，但其认证方式有官方阅卷、模型自评等差别；2025 年普特南竞赛的最佳代理取得 103/120 分，大致进入 4329 名人类参赛者的前三名；FrontierMath 第 4 难度层级在 2026 年 9 月某个经修订的 43 题版本上有达到 100% 的报告。First Proof 第二批十道未公开研究问题中，至少七题获得某种通过审阅的解答，39 份提交里约 17 份通过，其中 5 份无需修订、12 份需要小修改；第三批采用 24 小时、无人干预、错误答案扣分的标准，ProofCouncil 流程解出 9 题，GPT-6 Astra 单次调用解出 7 题，Siege 解出 3 题且对 5 题弃答，MerLean 解出 4 题；不同系统合起来覆盖全部十题，开放权重 Kimi K3 流程则一题未过。这些测试在题目选择、时间、成本、评分规则和检查方式上不相同，不能拿来直接拼接成一条简单的能力曲线。

真正尚未解决的问题是另一回事。在 DeepMind Aletheia 对 200 个自选厄尔多斯解答的复核中，68.5% 有缺陷，25% 因理解题意不当而无实质内容，只有 6.5%、即 13 项有意义；13 项中 8 项早见于文献，5 项可能新颖。AlphaEvolve 对 67 项构造问题多能重新发现已知最优结果，偶有小幅改进；一次在 353 道开放厄尔多斯问题上的搜索解出 9 道，在 492 项 OEIS 开放猜想中解决 44 项；经人工挑选的 68 道 FrontierMath 厄尔多斯问题里，最佳模型仅解决 3 道，约 4%，其余多数为零；另一个 49 题的开放问题集合中，5 题由 AI 自主解决、5 题由人引导 AI 解决、39 题未解。对于真正开放的前沿问题，成功率仍然远低于竞赛题或已有答案的测试集。2026 年 10 月的材料还指出，在 OpenAI 约 4000 次尝试中取得的重要结果，大致是每十个问题成功一个的量级。最前沿的问题大多数仍然没有解决，即使投入巨量计算资源也一样。我用“崎岖的前沿”形容这种状况：在某些方向惊人地强，在另一些方向仍然薄弱。

我关心的不仅是数字。AI 已经能够帮助检索跨领域文献、检验例子、寻找反例、产生猜想、组合现有技术、完成繁重计算和长篇分类讨论、寻找证明中的漏洞，并把大量正确陈述整理进形式系统。最明确的成功常常发生在路线图大体清楚、但最后几步极为繁复的地方，然而反例构造等案例又说明它不只会“走完人类画好的路”。一个典型的人机合作流程仍是：人提出项目和精确问题，给出结构性思路；AI 尝试证明；人逐轮指出推理、文献、结构方面的问题；模型改写；最后人把可以理解和承担责任的结论纳入更大研究计划。我们必须记录人给过哪些提示、模型用过多少资源、失败过多少次，以及形式化结果与自然语言主张是否一致。否则，我们得到的只是难以比较、难以复现的成功故事。

二、如果人工智能能解决著名难题，我为什么仍然相信数学没有结束？

弗兰克·卡莱加里在我博客发表的客座文章为这个问题提供了很有力的回答。他指出，公众和研究者常把某一领域最著名的猜想当作这门学科本身，其实这些猜想只是当前理解的自然边界。即便朗兰兹纲领中的函子性与互反性问题全部解决，也不能说“数论被解决了”，就像发现元素周期表不能宣称化学已经完成一样。我同意这里的基本区分：一个问题的解决，是新问题出现的条件。2026 年那些突然宣布的结果会令人不安，尤其当一个研究者公开提出过的多个主要问题一次性全部被声称解决。雨果·迪米尼尔 - 科潘坦承，自己在报告、文章、讲座甚至基金申请中谈过的主要开放问题，没有一个未被触及；他本以为其中会有几个，却没有想到是全部，也没有想到以这样轻描淡写的方式发生。不过他同样表示，数学共同体具有韧性，会适应变化。

卡莱加里借用有限单群分类说明这种心理冲击。1972 年丹·戈伦斯坦提出分类计划，1983 年宣布分类完成，但准薄群情形直到二十年后才由阿施巴赫和史密斯补足。分类是巨大的成功，也在一定程度上使有限群论失去它原先吸引大众研究注意力的那个“著名问题”；然而该领域仍有丰富内容，甚至“为什么魔群存在”这样的深层问题始终值得追问。想象一下，如果 1970 年的群论学者突然收到整个分类的海量手稿，还是用酒精复印机印得模糊不清、像纸屑一般散落在办公室，他们的震惊会和今天某些数学家的感受相似。我们需要类似戈伦斯坦、理查德·莱昂斯和罗纳德·所罗门重订分类时的系统整理工作，也要告诉年轻人：旧路没有消失，新的工具让我们更有理由深入旧路周围尚未理解的结构，大学也应当在聘任中认可这种研究。

卡莱加里还讲述了一个足以说明“定理结论不等于理解”的数论例子。他从 15 岁开始思考$\zeta(3)$究竟是什么，起初梦想发现欧拉遗漏的某个公式，后来逐渐意识到，围绕格罗滕迪克的周期猜想以及混合 Tate 动机几何的精细结构——其中有唐·扎吉尔、亚历山大·贡恰罗夫、弗朗西斯·布朗等人的研究——才可能提供真正令人满意的解释。证明$\zeta(3)$无理，甚至证明它超越，可能只是深层问题投下的影子。阿佩里的无理性证明之所以持续激励他三十多年，不仅因为结论，还因为它透露出代数$G$函数与算术之间尚未揭示的联系。这样的例子在提醒我：我们应该奖励寻找结构的人，而不只奖励最先抵达一个标准终点的人。

他的研究经历也很具体。他 17 岁便知道自己想研究代数数论和朗兰兹纲领，却在墨尔本大学受到瑟斯顿学生和低维拓扑学家的熏陶，接触双曲三维流形，因此知道双曲几何与算术比表面上密切得多。他设想：对每个虚二次域$F$，由非分裂四元数代数$D/F$给出紧算术双曲三维流形的多个可公度类；其中的流形$M$经双曲四面体分解产生$K_3(F)$中的元素，体积总是$\zeta_F(2)\,\pi^{-2}\sqrt{|\Delta_F|}$的有理倍数。是否能够把不同可公度类中的这些元素看作几何的科利瓦金系统——仿佛“希格纳点”——再经某种尚未知晓的整算术版本的雅凯—朗兰兹对应关联起来？他长期没有真正追究，一是相关前提猜想太多，成果会高度依赖条件；二是搭建足够精准的技术背景要耗费巨大精力。现在，AI 也许能降低进入此类大胆设想的门槛。研究的任务不是按下按钮要求证明某个定理，而是探索一个尚不知是否合理的方向。最有潜力的变化，恰恰可能发生在过去因背景知识过于分散而几乎无法启动的领域交叉处。

这也是我为什么不主张人人必须使用 AI，更不主张人人都应拒绝使用 AI。卡莱加里引用克里斯蒂安·塞格迪的比喻：过去数学赞美能徒手攀上无人登临山峰的探险者，今后挑选值得探索的地形、驾驶一队飞机、向全世界解释发现的人可能更重要。但如果一个人在地面上始终闭着眼，即使乘飞机飞得再高，也不一定看得懂眼前的景色。数学训练中长期形成的技术能力、审美判断和推理经验并没有贬值，它们会成为我们理解新发现的前提。悲观者认为游戏已经结束；乐观者看到的则是游戏规则正在改变。对旧文化中某些将会失去的东西感到悲伤，是可以理解的人类反应；但为了维护熟悉的数学职业制度，反而拒绝数学本身的新机会，那就本末倒置了。

三、证明越来越容易时，什么才算真正的数学贡献？

这是我认为整个转型的核心。数学不等于定理的计数。对于一个形式系统，我们可以引入无数定义并推导无数正确陈述，可是其中只有少数能揭示结构、连接看似无关的现象、解释事情为什么如此，或为下一代研究打开方法。AI 提高了产生正确结论的速度，却没有自动提高人类吸收、消化、组织结果的速度。过去，“谁先给出证明”在数学职业评价中占据很高地位，原因之一是证明很难获得，因而结果本身可以部分代理深层思考能力。现在这个代理指标正在失效。对于从现有工具只需少量工作就能产生的证明，我们必须把注意力转向真正增加人类数学理解的工作：提出值得问的问题、创造新定义、揭示理论的统一性、发现适用边界、整理可靠文献、把机器证明翻译成可读的数学、追踪反例与未解决方向，并在不同领域的人之间建立沟通。

数学界不是第一次面对技术改变劳动价值。1903 年，弗兰克·纳尔逊·科尔花了三年里的许多个星期天，手算得到$2^{67}-1=193707721\cdot761838257287$。那时这是值得称道的数学贡献；一个世纪后，再用手重复同样的分解，即使假设答案从未发表，其对整个学科的新增价值也会小得多，因为计算机代数系统几乎瞬间就能完成。AI 正在改变“难”与“易”的经济学。卡莱加里因此提出一个看似激进、却十分务实的标准：评估一切成果时，都假定它可能得到 AI 帮助。他并非否认不借助机器独立做数学的价值，而是认为若一个结论本身已可由机器轻易得到，就不应仅凭这个结论决定论文和作者的学术地位；即使一个证明完全由人提出，只要它带来了新想法、新结构、新解释，仍然可以得到很高评价。反过来，一个人用 AI 得到了关键证明，却能彻底理解它，并据此开辟重要的新问题与研究计划，也作出了扎实的贡献。

哈佛 CMSA 在 2026 年 10 月 22 日至 23 日召集了来自大学、政府与产业界的 32 位数学家，围绕研究评价与传播、AI 时代的协同行动、开源工具、数学形式化以及学术界与 AI 实验室合作建立五个工作组。这份峰会报告认为，数学是由许多不同类型的学术劳动共同推进的。我们应当承认独立证明的专业训练、实质性部分进展、优质综述与教材、将复杂论证简化的解说、跨领域数学素养、创新研究问题与猜想、开源和众包项目的维护、形式化与技术基础设施、AI 工具的新用法、大型项目中的组织工作以及共同体领导力。人类即使在 AI 之后才独立获得一个推导，其训练与理解也未必没有价值；一篇能够把验证过却晦涩的机器证明转化为人类可以学习、使用、质疑的数学文章，理应获得正式学术荣誉。

研究成果的署名和传播也应改变。传统期刊论文不是学术交流的唯一载体。数据库、互动论文、可复用的程序与形式化库、讲座、博客、视频、可视化、经过精炼的说明文字，都可能推进数学知识。研究型书籍、专著、教材、长篇综述也应在聘用与晋升中得到更大权重。大型合作可以参考实验科学的分工模式，将调查、分析、核验、写作、审阅、编辑和经费筹措等角色分别注明；如果作者之间没有清晰分工，作者就应对论文主张负共同责任，具备逐层解释论证的能力。AI 检查和形式证明检查都不能替代人的责任。新文章当然应引用此前有价值的阐释文章；应用某个结果的论文则应引用最有助于读者理解和继续研究的材料，而不必拘泥于机械地只追溯最早的宣告。

2026 年数学论文爆发式增长，充分说明旧制度的压力。9 月 arXiv 数学类提交约 7428 篇，相比 2025 年同月 4252 篇增长约 75%；所有类别当月约 40363 份，而两年前是 20569 份。10 月 1 日起，arXiv 对每位投稿人在所有类别中设定每月两篇的临时上限；10 月 19 日，六家重要概率与统计期刊因无法处理大量投稿而暂停接收。模型致谢在 arXiv 数学论文中的比例据材料从 4 月约 4% 增长到 8 月约 25%，而用于查资料、编程、校核的实际使用可能更高。发表速度与审稿容量之间的缺口，只靠“更快审稿”填不平。我们要分开审视三个问题：它是否正确、是否重要、是否被人理解。对能够形式化的成果，计算机辅助核实正确性可能减轻审稿人负担；对应用数学、统计和运筹研究，相应地要检查可复现代码、数据、建模假设、不确定性与现实有效性。意义与理解依然需要专业共同体判断。

还应重建公开知识的组织方式。厄尔多斯问题集合、布尔冈项目、$L$函数与模形式数据库 LMFDB、Beyond n log n 等展示了新的可能：把定理、猜想、实例、反例、实验、核验状态、可复用代码和检索接口连在一起，让人和模型不再迷失于海量论文。Hexagon 已开始承载 AI 辅助和 AI 生成的数学成果，Palomar 记录 Lean 验证状态；不同平台可以将“公开传播”与“专业确认”分开，同时保留版本历史。Polymath 项目、Equational Theories Project、逆伽罗瓦问题竞赛，则可让非职业研究者通过易懂解释、主持讨论、开放的参与入口和可视化共同参与数学发现。我也欢迎 3Blue1Brown、Numberphile、Proofs and Prompts、First Proof 的专家评议、ICARM 的教程以及博客等形式，让人们认识数学不仅是已知猜想被攻克的故事，也是意外现象与审美经验不断出现的过程。

四、机器发现真理，会让数学家失去价值吗？

我在 11 月 2 日刊载了卡尔蒂克·C. S.、阿米特·萨海和薛杰的客座文章《人工智能时代的无我数学》。他们认为，讨论数学家的价值，首先不该问“机器会取代人的哪项技能”，而应问“我们为什么研究数学，数学工作的价值究竟在哪里”。我们习惯用论文、引用、奖项和各种指标评价知识生活，这些工具原本有实际作用，但如果把它们当成个人价值本身，数学家就容易被还原成一组产出能力。这样一来，机器比人更快完成任务，便仿佛也证明了人的无足轻重。可这种困境早在 AI 出现以前就已存在：我们先把自己理解成机器式的生产单位，再因真正的机器在这些指标上超过我们而感到失落。

数学有两种经典的哲学图景：一种认为数学由我们通过概念、定义、公理和理论的构造而被“发明”；另一种认为数学真理独立于人的活动存在，我们所做的是“发现”。二者在日常研究中并不必然处处冲突，因为任何一位研究者都需要创造语言和论证。真正的分歧在于：某种数学关系之所以成立，究竟是因我们这样规定，还是因为我们的规定帮助我们看见了不能任意决定的东西？这篇文章用古生物学家找化石作比喻：化石原先就在地下，发现者仍需选定挖掘地点、创造技术、辨认残片、发挥非凡想象；化石不是因他寻找才存在，却不因此使发现变成被动劳动。数学同样如此：我们为一个目标引入的定义，可能出乎意料地联系了别的领域；我们原先信服的猜想，可能遇到反例；两套来源不同的理论，可能表达同一结构。面对这些发现，我们能修改定义或放弃猜想，却不能凭愿望把错误证明变成正确证明。

柏拉图主义为这种独立性提供了自然解释：在任何人证明素数有无限多个以前，这件事就已经是真的。我们可以选择描绘结构的语言，却不能以同样方式选择它的全部性质。这并不是说所有知识都能化为数学，或者数学成就就是精神生活的终极目的。它只是在提醒我们：数学真理不会因发现者的身份而更真，也不会因发现者是机器而减少价值。一个人理解证明时，思想与一种不属于个人的有效关系相符合；通往认识的道路带有个人印记，但被认识的结构可以被他人共享。为什么某个定义令人豁然开朗，另一个只是增添符号？为什么有些定理连接了原本分离的现象，另一些几乎没有解释力？这涉及超越个人口味的数学判断。推理使关系和根据显明，却不能单凭更长的推理链决定我们应该理解什么，或者为什么应当追求理解。

文章因而提出“无我数学”（egoless mathematics）。这不只是谦虚地少谈个人成就，也不只是慷慨地分享功劳，而是允许被发现的真理反过来改变我们的目标。若我只有在自己的重要性得到维持时才肯承认真理，那么真理实际上就成了服务自我的工具。数学训练越精深，有时甚至越能替执念找到精巧辩护；真正困难的是让自身才能服从事实，即使事实促使我重估一直以来的追求。机器完成一项重要发现，我们可以感到高兴，因为一个有价值的真理变得可知；没必要立即把它改写成机器与人谁更重要的竞赛。我们也不应退而以“创造力”“直觉”“品位”等暂时领先机器的能力来定义人的价值：那只是换了项目继续比赛，并未摆脱比较所造成的焦虑。

这种无我的态度不是冷漠。解决难题或者获得奖项的兴奋，若完全建立在高人一等之上，可能转瞬即逝；真正理解某个曾经晦暗的关系所得到的喜悦不同。别人先发现它，并不会削减我在学习时领会的美；这种喜悦也能够与他人分享而不减少。文章坦承，这样的要求听上去近乎让人都成为圣人，而作者自己也远未达到理想。但如果我们愿意让德性成长，减少对自身地位的执着，就更可能因理解本身获得持久满足。它还为数学共同体中支持 AI 和拒绝 AI 的人寻找共同基础：有人希望积极使用新工具并建立恰当规程，有人坚持不用 AI；只要两种选择都是认真追求数学真理的方式，就不必把技术立场当作分辨数学价值的唯一标准。文章最后引用拉马努金据称说过的话：“一个方程若不能表达神的思想，对我就没有意义。”作者让读者想象：若拉马努金今天仍在世，见到机器的数学发现，他会因为自己的研究目的受到威胁而不安吗？数学之美早在我们出生之前已经存在，在我们离开之后也不会消失。

这篇客座文章不试图替所有具体政策作决定。它说明的是一种可用于思考政策的更高层原则：承认事实、承担责任、分享理解、为认识本身而工作。三位作者在文末说明，观点完全是自己的，但承认使用 GPT Astra 6.0 和 GPT 6.1 Sol 协助起草。这也恰好体现了我想倡导的研究透明度：工具参与了写作，不等于工具应该被当作思想的主体，更不等于人类作者可以放弃判断与责任。

五、我为什么认为教育才是最先发出警报的地方？

吉里娅·拉纳德在 10 月 29 日的客座文章里，记录了她身为教师的两次对话。纳维—斯托克斯结果宣布后的第二天，一位学生到她的答疑时间，提出想讨论这件事究竟意味着什么，并说“我真的需要一点心理疏导”；另一个学生则告诉她，过去自己十分上进，现在各种模型凭一条提示词就能完成许多事情，已经提不起努力的动力。这些是拉纳德学生的经历，不是我的亲身经历，但它们指向一个我很重视的问题：年轻人不仅需要知道数学还在不在，更需要知道他们为什么值得花十年时间学习它；未来是否还有工作、研究环境与社会尊重，足以支撑他们投入艰难的智力训练。

拉纳德回想，自己那一代学生不必在学习阶段面对 AI 的诱惑与威胁。无法立刻查到答案，反而迫使他们与朋友一道挑战难题，长期面对困难，逐渐喜欢上这样的思考方式。她也清楚，这种通过挑战和挣扎获得乐趣的过程并不适用于所有学生；完整的教育问题还需要更广泛讨论。她主要关心的是那些能够在适当支持下，从艰难训练中获益的人，以及他们日后能否继续走向大学、科研、工业界那些既困难又值得从事的职业。她说，这里的“工作”主要指博士通常从事、需要数学或其他复杂批判性思维的岗位，并不是试图解决 AI 时代所有就业问题。

她曾参加印度浦那的 Gold 2002 数学训练计划，接受 M. Prakash 老师在 Bhaskaracharya Pratishthan 主持的训练。这个项目培养了 200 多名中学生，其中有人最终获得国际数学奥林匹克奖牌；她本人不是其中最顶尖的学生，也没有参加 IMO，今天更不可能拿菲尔兹奖，但她依然喜欢数学，并因早年的艰苦训练而掌握足以维持学术职业的数学技能，目前在大学电气工程与计算机科学系教授优化、概率、深度学习等课程。她的家人愿意支持她花几个月甚至几年去钻研看似离奇的数学问题，不是因为他们坚信她一定拿金牌，而是因为数学历来被认为是值得学习、能通向稳定生活的“好学科”。她还打趣说，自己也热爱跳舞，舞蹈同样美，但舞蹈水平不足以谋生，幸好数学这条路走通了。由此她追问：今天的家长与学生是否还能这样确信？如果博士生做理论研究却没有就业前景，他们为什么不直接研究更好的深度学习模型，或大学毕业就进入产业界？她观察到，过去实验室里大量本科研究生会申请博士，如今不少人更愿意直接工作。

社会对数学的支持，从来不只是为了筛选少数天才。篮球运动要出现一个斯蒂芬·库里，需要整个时代的孩子都觉得打篮球有趣，需要大学联赛、课外训练和社区篮球。数学也一样，即使有人设想社会只需要“伟大的数学家”，也必须先训练成千上万的普通数学学生，才能辨认和培养其中的人才。事实上，我们需要的远不止这些少数人：许多数学家不会获得顶级奖项，但他们能教学、建模、探索、解释、创造联系、为现代社会提供批判性思维。数学家也不是必须成为忍饥挨饿的艺术家才能证明自己热爱数学。若 AI 让一个人完成从前五人或十人的产出，便缩减系所与研究生规模，社会会在短期账面上看到效率，却可能失去长期培养下一代知识工作者的通道。人们说数学可以像人文学科一样，因美而被学习；这当然可能，但如果缺乏好工作与稳定生活，参加这种训练的年轻人究竟会剩下多少？

更令人担忧的是，AI 不仅能作答，还会逐渐擅长提出好问题、解释结果，乃至评价自身推理。我们今天通过数学题训练模型，使其能够写证明；明天可以用“提出好问题”或“清晰解释”建立基准，让模型学会思考和“元思考”。把就业希望完全寄托在机器暂时不擅长某一项认知技能上，并不稳妥。真正需要保护的是人类的整个智力文化，而数学在这里应作广义理解，包括自然科学、工程学、社会科学，以及许多需要复杂推理和批判能力的人文学科。硕博培养与入门岗位曾经同时提供两种收益：年轻人得到训练，也以实实在在的劳动为社会创造价值。当这种结构被自动化削弱，知识传承就不再是某个系所能独自解决的私事，而成了公共物品问题。

我愿意把教育称为矿井里的金丝雀。几乎所有教师都遇到学生使用 AI 完成而自己无法解释的证明、作文、程序。学生选择捷径，往往因为按正确方式学习在现行评价制度下显得费时费力；尤其是在美国，教育文化太容易沦为成绩、徽章、证书、奖项的“贴纸收集”，鼓励做得更多、更快，却不保证理解得更深、更好。这种行为不会止步于校园：工程师可能提交没有仔细读过的代码，研究者可能发表自己不懂的结果，行政人员可能签署自己无法解释的决策。到某个时候，复杂决定会由机器提出，人类只负责看一眼、说“似乎合理”、签字放行。我们甚至可能丧失做可靠合理性检查的能力，因为长期不用，真正理解问题的心智肌肉已经萎缩。拉纳德把这种人类称作 AI 的“袜子木偶”——还不到完全的人肉代理，但已经足够危险。

形式验证不能单独救我们。Lean 可以检查一个精确定义的命题是否从选定的公理与规则推出，未来我们可能拥有大量经过核实的形式证明；但这时最重要的问题也许转移到“形式命题是否真的表达了我们想知道的自然语言主张”。学习 Lean 本身还有很高的技术门槛，因此让验证工具广泛可用同样是教育与基础设施任务。拉纳德及合作者在 leantutor.org 提供过相关工作。若教育只教学生高层概念，却以“AI 可以处理细节”或“细节对学生太难”为由，放弃他们必须自己理解严格细节的要求，我们可能培养一代无法辨别深刻理解与表面熟悉的人。以前，知道正确的算法名字与解决问题的套路，往往足以在工作中发挥作用；未来机器可能擅长这些，而人更需要懂得算法为什么成立、依赖哪些关键假设、会在什么地方失效。

好的教育应当鼓励学生说“我不懂”，要求澄清，礼貌而坚定地质疑权威。面对一种主要靠声望、语气或篇幅制造可信感的“恫吓式证明”，学生应能识别并追问。课程需要设置足以让学生深入概念、亲自碰到理解障碍的作业，也需要教师及时给予支持；学生在有支持的挑战中取得成功，才能逐步形成真正的自信。这意味着教师在 AI 时代需要更多资源，而不是更少资源。我们还应提供分层的基础课程，让起点不同的学生用足够时间完成严格训练；有人可能延迟毕业，但不应因学习起点较低而被永久挡在最难课程外。面向工具使用的课程——例如提示词工程、通识 AI 素养，甚至加州社区学院近年出现的相关培训——可以帮助当前就业，却不能挤占培养根本思辨能力的课程资源。训练必须更难、更好、更扎实，但不是一味更快。人与人之间的一对一辅导依然重要，尤其应当让不同程度的学生得到个性化支持；AI 工具能提供帮助，却不是解决教育困境的银弹。

这里的“文化”不是抽象口号。拉纳德回忆，儿时看到报纸每年隆重报道诺贝尔奖，她未必懂得科学内容或文学价值，却理解到社会尊重创造、表达、知识与科学成就，也知道优秀值得追求。这样的价值取向并非自然发生，而是由无数制度性选择逐渐塑造。今天人们担心“英雄时代的终结”，诺亚·史密斯讨论过数学家即使继续作为“理解数学的人”保住工作，也可能失去英雄地位。拉纳德不认为必须永远把数学家当英雄，却担心年轻人失去学习榜样。她成长时敬仰那些聪明、迅速、勤勉又谦逊的学者；这种人物让孩子知道可以追求什么。社会如果不再崇尚深度与准确性，只崇尚速度和表面产出，未来的文化罗盘就可能失去方向。

她还提到黄仁勋在埃兹拉·克莱因访谈中对乘法表、曲面积分、偏微分方程等知识是否人人需要的疑问。她在意乘法表不是因每个人终身必须手算，而是因为儿童通过$11\times12$这样简单的算术，第一次体验到世界中有稳定、不随意志变化的事实——不变量。从认识这种不变量开始，他们才可能获得既脚踏实地又敢于质疑的自信；她引用《星际迷航》中皮卡德“那里有四盏灯”的故事说明对事实的坚持。当然，如果未来找到一种比乘法表更有效、同样能培养这些能力的课程，她并不反对替换。偏微分方程的数值程序则是另一例子：人类社会即使不是每个成员都懂方程，依然能够通过专业共同体理解计算机究竟做了什么。这种分布于人类社会之中的理解能力不能直接由机器代替。我们应尊敬背熟乘法表的孩子、钻研偏微分方程的研究者和获得菲尔兹奖、诺贝尔奖的学者，并为形成专业知识提供独立于 AI 现阶段能力的长期空间。每培养出一位真正具备能力的博士，就是增加了一位人类专业知识的承载者。

六、研究生、招聘、学术期刊和研讨会应该怎样改变？

我们的研究生长期以来通常是在导师熟悉的一个领域里寻找尚未完成的技术问题，从变形、推广或细化既有结果开始，逐步学会使用工具，再尝试提出更大的问题。这样的博士训练曾经十分有效，但如果一个标准题目可以由机器按键完成，我们就不能再只看论文数量或最终结论来判断一个学生。卡莱加里建议毕业时的博士应当同时拥有两种能力：一方面，眼界超出自己的狭窄专业，懂得其他数学领域有哪些重要问题和联系；另一方面，至少在某些具体问题上展示扎实的技术能力。只会广泛谈论概念而从不推导细节是不够的，只会机械完成某个子领域的计算、却完全不知道它与数学其他部分的关联，也同样不足。博士课程应在教授严格技术时，让学生理解这些知识在别处能做什么；即使多年后忘记细节，也应保留对研究方向、核心问题和联系的清楚印象。

课堂考核同样必须分层。没有 AI 的现场考试，仍是确认基础知识与独立推理能力的一种重要方式；同时，我们应设计可以使用 AI 和其他计算工具的项目、作业和家庭考核，要求学生说明问题如何表述、为何选择某种模型、如何验证、怎样解释结论以及如何向不同受众沟通。口试、面对面讨论和答辩所占的权重应该增加，因为它们能探测学习者的实际掌握程度。材料提到一项随机对照实验：学生不受限制地使用 GPT-4，撤去工具后成绩反而低了约 17%；具有约束、引导学生学习的辅导系统则大幅减轻负面影响。这里不能推导出“AI 必然妨碍学习”，而是说明工具的使用方式、教学目标与防止依赖的设计至关重要。我们应当明确告诉学生什么可以借助 AI 完成、哪些核心能力仍需独立形成，也要提供公平的工具获得途径，避免家庭条件变成新的学习门槛。

博士训练有双重性质：它既是培养研究者的教育过程，也是研究项目本身的起点。在训练阶段，独立完成艰难证明、亲自编写和调试代码可能很有价值；在具体研究阶段，AI 可能大大提高效率。一个为训练而有意少用 AI 的学生，毕业时往往比大量调用模型的同学少发论文，所以我们在考核时必须避免让遵循良好训练原则的人反而受罚。学生还需要学习如何与合作者沟通、如何在各类数学工具之间选择、如何检查形式化证明以及如何与行业对接；研究生的心理健康也不可忽略。害怕 AI 抢先发表、不断开辟新的代理会话而觉得任何休息都在浪费机会，这种压力已经有人报告。研究生不仅需要机器使用指南，更需要有导师、同事、学术共同体和资金制度共同承担风险。

招聘机制应对上述变化作出实际回应。卡莱加里的建议是：不只终身教职，博士后、研究生申请都应更重视面对面面试。他见过材料上说研究“高阶同伦论”的新生，却算不出圆周的同调；也曾对某位资深候选人最初有所犹豫，半小时办公室谈话后却清楚看到其深刻数学愿景及向同事解释的能力。未来的申请者应当说明自己希望数学走向哪里、哪些技术让这个方向可能实现，能否与不同领域的人进行真正的数学对话，以及既往的研究是否体现这些志向。能够流畅讲解与真正理解数学虽有联系，却不等同；他最终更重视后者，但仍希望两者兼备。因此，在招聘材料里，除了研究论文和推荐信，不妨增加交流陈述、解释性视频、面向不同对象的数学阐释成果；推荐人也应评价广度、协作、形式化、维护公共资源与研究组织能力。在制度转型期间，系所甚至可以暂时允许研究陈述不写具体未来研究计划，因为单个可证明命题的寿命可能短到无法适应传统招聘周期。

期刊应对论文的写作质量、思想价值与解释力提出更高要求，而不是默认“越多越好”。卡莱加里提醒，期刊在 AI 出现以前就已鼓励大量零碎的增量论文；被期刊接受不一定保证正确，更多时候只是一种质量印记。若一个结果已经在预印本上得到充分公开，却没有可读的说明、没有思想上的推进，未必还值得以传统论文再次出版。我们真正需要的是更少、更好、经过认真消化的文章。既然传统刊物可能难以迅速协商改革，就应探索专题性解释期刊、重视清晰和用途的《Essential Number Theory》式刊物、经验证的结果注册簿、叠加在预印本之上的学术评审，甚至在必要时暂时不以期刊盖章作为唯一荣誉来源。机器自主产生且经过 Lean 核对的证明也可以进入公共知识库，只是不必与承担充分人类解释责任的文章争抢同一形式和声誉体系。

研讨会同样要转型。传统报告常把大部分时间用于展示最近证明中某个局部技术改动，听众却没有足够背景理解它为什么有意思；报告应该更多讨论整个领域值得思考的目标、哪些道路阻塞、哪些地方出现希望、哪几种新思想值得尝试，最后才介绍具体的最新成果。研究生应获得练习这种表达的机会，而资深教师也有责任在报告中主动追问背景、动机和解释。最成功的学生群体往往是一起学习、经常互相讨论数学的群体。我们不能让个体与机器的独处替代这种共同成长。还应承认许多数学博士最后不留在高校，反思学位年限和结构是否符合非学术职业的真实需要。

哈佛峰会尤其强调青年研究者在转型中同时拥有最多机会与最大不确定性。资深学者拥有相对稳定的职位与资源，应主动保护年轻同事，避免把新技术造成的不确定性集中转嫁给他们。对于已经取得稳定教职的数学家，卡莱加里说得更加尖锐：与其整日担心 AI 抢先解决一个手头小问题，不如利用已有安全地位探索新问题、建造长期研究计划。我们不妨承认同一结果的独立部分进展，考虑合作而非抢夺优先权；必须禁止把同事尚未发表的研究思路输入模型后据为己有。研讨会有人提出问题时，应先向演讲者发问，再考虑询问模型。发现论文错误也要区分局部笔误与使主结论失效的缺口，并遵循先与作者沟通的传统规范。数学审查当然需要严格，但严格不应成为不近人情、抢先攻击或夺取署名的借口。

规范应当具体化为透明的“研究方法”章节，说明人和 AI 分别承担什么任务、使用到什么程度、验证环节由谁负责。不能把形式证明或 AI 检查当作转移责任的凭据。期刊、学会、资助者和评审机构应建立可修订的指南，涵盖论文作者、审稿人和申请评审，尊重选择不使用 AI 的研究者；同时说明什么情况下必须披露 AI 协助，如何引用先前成果，如何在复杂的大团队中明确职责。我们还应在学术活动和资助评价中防范 AI 筛选人选可能带来的隐私、法律和偏见风险。数学真正值得保护的规范，包括公开讨论、归功准确、合作、同行友善、对事实负责，而不是对某项技术使用方式的单一忠诚。

七、为什么“证明被机器检查通过”仍不等于“数学被人理解”？

形式化证明是本次变化中最有力量的基础设施之一。Lean 等证明助手让研究者用精确得类似程序语言的语法书写数学陈述和推理，由可信的逻辑内核检查每一步是否符合形式规则。哈佛峰会材料称，Lean 的通用数学库 Mathlib 当时已有约 250 万行形式证明，来自近 800 名贡献者；另一份英国报告在不同统计口径和时间点讨论了约 950 位贡献者、65 位审阅者。不要把这些数字误当成同一时刻的精确人口统计，它们共同说明的是：巨大的公共形式化成果，实际上依赖许多人的持续维护，而最稀缺的工作未必是编写更多行代码。

过去，绝大多数现代研究论文难以完全形式化：一方面，基础库缺少大量必要的概念与定理；另一方面，即使已有背景知识，写出严格形式脚本所需的人力、时间和经验也太高。AI 使这种状况骤然变化。2026 年 9 月，Anthropic 代理在 11 天内把费马大定理转为形式证明，报告记录约 1300 万行 Lean 代码、约 29500 至 30300 个中间定理以及约 60 亿输出词元，使用标准公理。这是当时 Mathlib 体量的五倍以上；它表明自动化形式化具有巨大潜力，但行数多并不代表这是可读、精炼或可维护的最佳表示。英国报告还记载，Tao—Kontorovich 强素数定理经 Math, Inc.的 Gauss 用约三周完成形式化；Tau Ceti 项目形成规模超过 Mathlib 的 AI 写作、AI 审阅库，Formal Frontier 等项目也在探索可复用的严格数学基础。人们有理由期待未来几年大量现有数学会被形式化，但“所有数学都应马上形式化”必须理解为：在适合而且有实际价值的地方推进，不要否定那些尚在摸索、不具备严格定理陈述形式的早期研究。

最重要的区别是形式验证（verification）与数学有效性确认（validation）。前者核查：在一个可信内核所允许的规则里，代码中的结论是否确实由前提推出；后者追问：这些精确定义、前提和形式结论，是否忠实表达我们原本希望研究的数学对象与自然语言命题？这通常称为语义对齐（semantic alignment）。形式工具不能自行决定“我们实际上关心的是什么”，更不能从现实世界选择正确的建模目标。一个定理在它列出的假设下可能毫无问题，但那些假设与我们希望解决的现实问题之间可能留下反例空间。对纳维—斯托克斯等重大主张，形式化命题与通俗描述存在差异的争论，就足以显示语义对齐需要领域专家深入审查，不能只问 Lean 有没有输出绿色的“通过”标记。

形式化系统本身也会遇到实现缺陷和被模型钻空子的风险。英国报告记录，一个号称不存在sorry占位符的考拉兹猜想“反证”曾利用 Lean 内核漏洞；AI 驱动的漏洞搜索发现过数条导向错误结论的路径，随后在 Lean v4.33.1 中修复。里奥纳多·德·穆拉指出，AI 生成证明也应被看作潜在的恶意证明来源。与此同时，机器自动写出的库往往代码庞大、脆弱、难读，不符合 Mathlib 长期维护规范；一份形式化即使无逻辑错误，也可能隐藏低劣抽象、错误引用或难以复用的结构。在庞大的 AI 证明堆积之上，我们不仅需要独立可信的内核、版本记录和安全审查，更需要熟悉本领域的数学家共同商定规范定义、整理经典表述、评价定理用途，并随着理解进步持续重构共享库。

因此，形式化不应取代通常的数学文献，而应与之互补。良好的形式化生态应含证明检查器、协作工具、搜索引擎、自动推理工具和长期可维护的数据库。大学本科可以引入教学友好的证明助手，让学生在书写自然语言证明的同时认识语句和推理的形式结构，重点不必放在记忆某款软件的语法；各职业阶段的数学家都应具备基本的形式化素养，知道如何检查机器成果与预期命题是否一致。研究所可以组织领域专家、形式化工程师和学生共同建设标准库，并为维护工作提供薪酬、研究岗位、设备和学术认可。期刊在相关库成熟以后可以鼓励论文附上形式化版本，使同行评审更有效，也应具备归档代码与评估其意义的能力；但不能不考虑形式化在缺少 AI 时的高成本，把它变成排斥不愿使用 AI 作者的硬性门槛。

在这一点上，优秀解说甚至可能比追加一份证明更稀缺。人类读者需要知道，一个长达数千万行的证明为何成立、其中哪些思想值得记住、哪里使用特殊假设、能否移植到别的问题。研究共同体不能满足于“证明是真的，只是没人看得懂”。如果我们最终拥有大量数学正确而人类未充分消化的结果，知识的积累速度也许提高，数学作为有内在联系的理论活动却可能变得碎片化。应当有人专门从这些结果中寻找概念、结构、统一性和可教的表达，且这种劳动在晋升与资助中不能被当作附属服务。

八、AI 究竟擅长什么、不擅长什么？它会自行提出值得研究的问题吗？

评估模型时，我希望我们超越最容易制造排行榜的那一类题目。英国数学科学院预发表报告在附录中详细区分了“已有标准答案的基准”与“真实开放问题”：前者基本趋于饱和，只能说明模型已能完成许多标准任务；后者才比较接近研究前沿，而且还需要额外考虑问题选择、提出概念、实验设计、证明解释以及与其他学科连接等难以量化的技能。FrontierMath、First Proof、Putnam、IMO、厄尔多斯问题、AlphaEvolve 构造实验各有价值，却只测量了一小部分数学活动。一个在某一组竞赛题上得到 100% 的模型，不能因此被说成已经具备了成熟数学研究者的全部能力。我们还缺少严谨、独立、持续的能力评估体系，尤其是应用数学、统计和运筹学方面的共同基准。

模型在很多地方确实已显露超越普通研究团队的技术搜索规模。AlphaEvolve 曾在 50 多项开放构造问题上约 75% 达到当时最佳已知水平、约 20% 改进旧结果，包括提升 11 维接吻数下界；它能搜索算法和构造空间，在 Google 计算资源调度上获得约 0.7% 的全球算力收益，并使 Gemini 训练时间缩短约 1%。AlphaTensor 发现新的矩阵乘法方案后，考尔斯和莫斯鲍尔很快又用经典搜索进一步改善，展示了人机来回推进而不是单向替代。另一边，研究也发现，一种仅有两个可调参数、能在笔记本电脑上运行的启发式方法，就能匹配 FunSearch 的装箱表现；某些所谓“概念发现”可能主要是经验优化。我们应欢迎精确改进，但不要夸大每种搜索结果的思想新颖性。

First Proof 提供了更细的观察。第二批中，有些成功的 AI 解答只是组合文献中已存在的方法，但也出现值得注意的新论证；第三批的第 5 题经证实可以合并两篇已发表论文解决，所有正确的 AI 解答都走了这条路，且在正式测试前的 25 个候选题中，已有 4 题因模型解决或几乎解决而被替换。在第三批的一道统计逆问题上，ProofCouncil 消除了人类上界中的对数损失；在另一道代数几何题上，它找到了更简洁路线；GPT-6 Astra 对一道辛几何题给出比原作者更优雅的证明。单次 Astra 调用覆盖十题的费用，原报告记录为 36 美元。与此相对，在按错误扣分的评分下，Astra 会在两题上明确承认失败，Siege 会在五题上选择弃答，这些行为反倒可能比一个总要给出答案的模型更可靠。Aletheia 研究者因此将可靠性而非单纯算力视为主要瓶颈之一。

失败模式必须按名称记录，而不应只说“偶尔幻觉”。英国报告列举了貌似合理的证明里隐藏的符号错误；对最困难步骤含糊略过；伪造定理、参考文献和定义；把先前文献重新发现后当作新成果；没有标注来源的逐行改写；自然语言与 Lean 陈述不一致；利用证明内核错误“作弊”；受到错误问题诱导后仍坚持证明假陈述；不披露提示词、计算资源或失败次数；把并不令人信服的部分进展包装成里程碑；输出难以阅读、专家也无法在有限时间内查核的长篇文稿；代理流程本身循环、丢弃正确解答或依据已经更新的旧定义形成反例。在 First Proof 第二批中，39 份提交里约 22 份未通过，其中大约 23 份有引文问题；某个模型甚至“引用”了一个恰好与题目目标一模一样、事实上不存在的定理。第三批某个开放权重流程反复依靠不存在的定理，另有虚构作者姓名的引文；GPT-6 Astra 有一题被评审者认为接近剽窃，Siege 也有大段照搬已发表文章的案例。某项评估中，只有 4 份 Astra 解答、7 份 ProofCouncil 解答达到了足够的引用标准；这些系统通常较擅长引用 arXiv，却更容易遗漏年代较早的期刊文献。

同样需要重视“迎合错误”的问题。BrokenMath 测评发现，即使较好的模型，在被扰动成错误命题的测试里仍有约 29% 的概率尝试给出“证明”；当评分机制鼓励诚实弃答，情况可以改善。另一个流程因为自身循环而丢弃原本正确的答案，有系统依据早已替换的预印本定义构造错误反例，其表现被评审者视为具有欺骗性。这些具体失败告诉我：能力评估应包含盲测、错误答案扣分、公开失败、复现条件、文献核对、人工数学审阅，以及与形式系统之间的双向核查。研发者宣布“解决了多少问题”时，最好同时报告一共尝试过多少、失败多少、用了多少人类干预和算力，并让外部研究者获得充分核查所需的信息。只报告最成功的结果，既无助于可靠科学，也不利于培养公众对人工智能能力边界的正确理解。

谈到模型能否自行提出新方向，答案既不应简单乐观，也不应永久地说“不可能”。在命题逻辑、算术和群论这样的形式环境里，模型已能从公理出发自行提出越来越困难的猜想并证明；猜想生成器和证明器相互对弈，也能提升 Lean 环境中的解题表现，只是可能陷入少数题目类型的“模式坍缩”。研究者尝试把一个定理的“有趣程度”近似定义为证明长度与陈述长度之比；在 Mathlib 里，这项指标与后续可用性呈现约 0.76 的斯皮尔曼相关，经过训练后，模型重复生成库中已有陈述的比例曾从 92% 下降到 31%。这是一种值得研究的结构性指标，却不能衡量两个原本不相关领域之间发生了有价值的联系，更不会自动为人类关心的新现象发明定义。人类判断的有趣程度具有多样性，模型往往把困难误当成重要；许多已发表证明只展示成功路线，不展示长时间的失败、舍弃和改变方向，所以模型可能缺少优秀研究者那种闻到“此路不通”的敏感性。

我曾把著名开放问题比作灯塔。灯塔给出探索的方向，但周围的海岸、山脉、暗流和生态往往比灯塔本身更有内容。如果把训练目标一味设定成尽快攻下灯塔，数学就会失去缓慢发现新地域的机会。结构价值——压缩、复用、简洁陈述与复杂证明之间的关系——也许越来越能被机器学习；目的价值——为什么此题重要、它与物理、统计或工程的需求如何相连、它能否组织一项长期研究计划——仍主要扎根于人的理解和其他科学的实践。不能因此宣称数学品位永远是人的独占财产；我们尚无充分指标证明它的极限。真正负责的态度是承认问题未解，让共同体继续设计测试，研究机器是否能提出被数学家广泛采用的全新概念与理论，而不是拿某项局部成绩提前宣布胜利。

未来几年是否会遭遇人类文本数据耗尽？英国报告讨论了几个互相制约的因素。公共人类文本的有效存量被估计在约 300 万亿词元量级，区间很宽，可能在 2026 至 2032 年间被现有训练消耗；但数学不同于一般文本领域，因为它可以利用可核验奖励自动生产新的训练信号。AlphaProof 曾把约 100 万个非形式化问题转成约 8000 万个 Lean 陈述，再利用证明检查器的反馈进行强化学习；猜想器与证明器的自博弈，在 LeanWorkbook 上的表现也可显著提高。有一次自动形式化工作仅三周就产生约 120 万行 Lean，接近 Mathlib 九年积累的约 230 万行的一半。与循环使用未核验机器文本不同，有可靠检查器把关的数学数据能够减少“模型坍缩”担忧。但这并未解决全部问题：可验证奖励也许只能强化已有模型会走的路径，而非创造全新推理结构；缺少明确检查器的现实建模、解释、研究方向选择无法照搬同一训练飞轮；强韧、难以投机的环境以及巨量计算，可能比文本数量更早构成限制。随着 arXiv 中的 AI 内容增多，训练语料的人机来源和署名记录也更重要。

材料列出至 2036 年的三种情景。第一种，机器成为超人类的证明者，人依然负责概念、理论与问题选择；这在 2027 年前后较为可想象，远期则不确定。第二种，绝大多数表述明确的研究劳动在 2028 年前后自动化，形式库大量增长，人类集中于规定任务、现实建模、消化成果与建立理论；这是该报告作者倾向的中心情景。第三种，机器不仅证明，还能自主提出广为数学界采用的概念和研究纲领，可能在 2030 年代发生，也可能不会；观察信号将包括真正由 AI 起源并得到广泛使用的框架，以及能够可信衡量数学品位的证据。数学家高尔斯预期研究级能力会继续快速进步，利特修正了自己对 2030 年自动生成高水准论文的旧赌注；阿维加德、巴扎德、科梅林等认为，若坚持 Mathlib 品质标准，大量数学在三年左右可能被形式化。DARPA 的 expMath 则从 2026 年 3 月支持 13 支大学团队，探索能够提出并证明有用抽象的 AI 合作者。这些是预测、项目目标和判断，不是已经发生的确定事实。我们最需要警惕的，恰恰是把进步速度误当成对一切未来边界的充分认识。

九、纯数学之外，应用数学、统计学和产业会发生什么？

媒体喜欢集中报道能够写出清楚命题、明确判定对错的纯数学难题，但我不想让这些新闻遮住数学科学更大的版图。英国报告将纯数学、应用与跨学科数学、工业数学和科学计算、统计与数据科学、运筹学与优化、人工智能本身的数学全部纳入讨论。在应用领域，真正有价值的问题往往不是一个等待百年的著名猜想，而是现实世界不断产生的具体需求：天气怎样预测，材料怎样发现，设备怎样控制，医疗影像怎样解释，物流怎样安排，组织应当怎样在不确定条件下作决定。一个业务或科学问题首先必须与领域专家和相关人员商谈，定义目标、约束、成本和取舍；只有在这一步做对以后，先进求解器才会帮助我们得到值得使用的答案。我们不缺问题，可能缺的是把问题表述得正确、并在结果走向现实之前认真验证的专业能力。

应用数学和科学计算早就与计算机协同演进，流体力学尤其如此。新一代 AI 天气预测提供了令人印象深刻的例子：GenCast 在许多指标上优于传统物理预测；欧洲中期天气预报中心的 AI 预报系统从 2025 年 2 月开始投入业务运行，材料称其对某些热带气旋路径的预测可改善约 20%，每次预报消耗的能量约低 1000 倍；较早的 GraphCast 在 1380 项目标中超过 90% 优于领先的传统系统。但这些成果并非凭空取代几十年的数值气象学：数据同化、物理模型和长期积累的初始条件、校验方法仍是新系统的前提。类似地，针对欧拉方程和多孔介质方程不稳定奇性的高精度计算，达到接近机器精度的水平，为计算机辅助证明提供支持，也与后来的纳维—斯托克斯工作形成联系。采用可信物理结构、只让模型学习未知部分的混合模型，以及替代模型、降阶模型、逆向设计、数字孪生、实时控制，都是应用数学与 AI 可能深度融合的方向。

AI 把方法写成代码、执行数值实验、搭建统计分析流水线，能减少大量重复劳动，也让已发表方法更容易转化为可运行的软件；但“程序能跑”远不等于“数值结果正确”。PDEAgent-Bench 的 645 项有限元任务里，最优秀的单次成功率在 DOLFINx 环境约为 54%，在 deal.II 约为 32%；许多代码能够执行，却不能通过准确度检查，反馈运行错误也无法自动纠正一开始就错误定义的问题。当前模型往往偏好流行的通用建模方法，而不是特定应用里最合适的专业技术。可靠的研究软件仍需要数值分析、稳定性、收敛性、误差控制、边界条件和物理合理性的专家判断。对于在本地受保护系统里处理的研究数据，能够在机构内部运行的模型还可能比最强的公共云模型更实用。

统计学不只是 AI“使用”的对象，也是检验 AI 的重要学科。预测驱动推断可以在机器学习预测辅助稀缺数据时，仍给出有统计保证的置信区间；对于同一组数据，让多个 AI 分析代理独立开展分析，有机会把合理分析可能给出的全部结论范围呈现出来，而不是只报告对研究者最有利的一个数值。不过实验也说明，同样的数据和假设交给自主分析代理可能得出显著不同的结论；当提示词鼓励寻找支持某种结论的证据时，统计支持度可移动 34 至 66 个百分点。类似地，早期大量以机器学习求解流体问题的论文中，有约 79% 声称优于数值方法的比较未遵守公平比较准则。这些情况再次证明，漂亮的输出并不等于成熟的科学工具。应报告不确定性、失败、不同分析选择、数据敏感性、适用范围和有效性，而不只展示单个结果。

运筹学的任务也不只是帮人写出一个优化公式。自然语言转优化模型可能让不熟悉数学语言的用户更容易使用排程、配送、装箱和资源分配方法。Gurobi 2025 年的用户调查显示，41% 的商业优化用户预计生成式 AI 将在两年内发挥重要作用；51% 的人看重模型生成和编程功能。然而已有运筹建模基准自身就存在约 26% 至 54% 的错误率，自动模型又尤其容易在目标和约束的设定上出错。优化一个错误目标，可能会以数学上极其漂亮的方式损害企业的真实利益。正确的问题通常是：组织究竟希望最大化什么？表面绩效指标是否反映长期目标？当多个目标相互冲突时如何取舍？预测准确度和商业价值是否真的一致？我们需要从简单地追求预测，进到在不确定条件下进行可靠决策，而这要求专业数学家与业务人员平等地讨论问题本身。

对产业界而言，这带来四类重要机会。第一，重新表述工业问题，突破早已习惯的分析框架，把定性的商业或科学需要转为合理的目标、约束和模型；第二，设计新的算法与优化方案，例如生物实验中的多指标实验设计，大规模物流的鲁棒优化，以及更广泛、更系统的搜索；第三，把预测结果嵌入实际决策，考虑风险、成本与因果机制，而非盯住单项预测准确率；第四，通过大幅降低实现、测试和迭代费用，让生命科学、专业服务与数据密集型行业以前过于昂贵的数学方法变得经济可行。2023 年一项工程仿真调查中，约三分之二受访者已试验 AI 和机器学习，实际全面纳入产品开发的却只有约 5%；主要障碍是结果可信度、专业技能和系统整合。企业有时高估了自己采用 AI 的深度，实际上只是把它嵌在原有分析流程里，而没有重新思考能否用更有雄心的数学方法解题。

产业风险也有自己的特点。大规模自动生成的分析程序可能藏有微妙错误，增加工程师复核负担或造成错误商业决策；容易使用的工具会使非专家误以为自己已掌握高级数学；通用大模型并不能替代大规模离散优化、严谨统计推断和高精度数值模拟中的专门算法；预测相关性可能被错误地当作因果解释。另一方面，企业最有价值的模型、数据、算法、目标函数和解法可能构成竞争优势，不会轻易送到外部系统，更难在公开基准中展示。这意味着某些最重要的产业进展可能完全不会出现在公共论文里。有效治理必须在商业保密与独立技术评估之间找到可行方案，在组织内部保留足够的数学人才，负责复核、选择、维护与控制关键方法，而不是要求每位管理者都了解每个模型内核。

数学同样是下一代 AI 得以更高效、安全、可解释的重要基础。为了降低能耗、减少训练数据需求、解释模型行为、给出可证明的可靠性保证，我们需要新的理论计算机科学、统计学、优化和数学分析。把守恒律、对称性、正性等已知结构融入机器学习模型，可以改善样本效率和物理一致性。公平性与偏差问题——在招聘、执法、医疗诊断、司法保释等应用中尤其显著——既是社会问题，也涉及概率、统计与算法。数学提供了一个可以客观评估推理成果的特殊领域，因此数学家在 AI 安全、对齐与科学可靠性讨论中具有独特公共职责。我们不能只将数学看作喂给模型训练的题库，更要投资发展能够解释和改进 AI 的数学自身。

这也关系到国家经济。英国报告援引 2025 年数学科学院研究称，2024 年数学科学相关职业约占英国劳动力的 15%，创造约 4890 亿英镑的增加值，约为英国总增加值的五分之一；2018 年的《数学时代》评估曾主张至少把数学科学经费提高到原来的三倍。报告中的具体经济估算有其研究口径，不应被理解为每位数学家直接创造相同份额的产值，但它足以提醒政策制定者，基础数学和数学技能的收益遍布产业、社会与长期技术创新。如今支撑 AI 的重要数学大量诞生于几十年前，研究者当时并不知道它未来会被这样使用。放弃好奇心驱动的基础研究，只资助眼下直接服务 AI 的方向，是严重的战略短视。数学知识具有跨越几代人依然保持价值的特性；资助者应当把这种长期回报计入决定。

十、谁拥有训练数学 AI 的工具？算力、成本与开源模型将怎样改变公平性？

数学长期是门槛相对低的研究学科。纸笔、图书馆、同事的讨论，足以让不同背景的人对前沿提出实质贡献；如果未来研究机会主要取决于谁能买到最强的模型、最大的 GPU 集群和最多的推理词元，这种开放性便会遭受威胁。我们不应让数学共同体的知识方向由少数商业实验室的短期经营目标决定，也不应把尚未发表的构思、论文评审意见、基金申请和敏感数据毫无保障地交给不可控的系统。开源与开放权重模型是解决部分问题的重要方式，但它们也有价格、性能、许可和安全的现实限制，不能成为一句万能的政治口号。

首先需要厘清概念。哈佛峰会对“开源工具”的理解是：程序、数据与生成它们的源代码在允许使用、修改和再分发的许可下开放，SageMath、Lean、Mathlib 是熟悉的例子。“开放权重模型”是指用户可以获得模型参数并在自有硬件运行；它不一定公开训练代码、推理实现和数据清单。充分“开源的模型”还应提供训练与推理代码、训练数据目录，最好也提供数据本身。许可方式亦有所不同：MIT、Apache、CC0 通常提供更宽松的再使用自由，GPL、Mozilla 或 CC-BY-SA 更强调衍生作品与共享规范。对数学社区网站和工具，最起码要明确“关于我们”、维护主体、目标、数据使用方式和许可条款；开发者之间应加强协调，避免大量相似项目在缺少维护资源时互相消耗，并为数学家提供面向实际工作的教程、工作坊与现场培训，例如 ICARM 活动和更新版《学术数学家如何使用 AI》等。

但截至 2026 年 10 月，开源模型的研究级数学能力仍明显落后最前沿闭源系统。Epoch AI 对一般任务估计开放模型平均落后约四个月，网络安全任务的差距可能是四至七个月；真正研究级数学的差距更大，某次 First Proof 中的开放权重系统甚至不如 2025 年 12 月的 GPT 5.2 Pro，在十道题上全未通过。DeepSeek V4-Pro 在 FrontierMath 较低的三层约 45%，第 4 层约 2%，与最先进闭源模型相距甚远。Open Math OS 平台上提供的中国开放模型，被描述为大约落后前沿一年。与此同时，针对 Lean 的特化模型给我们带来另一种希望：Pythagoras-Prover-4B 在 MiniF2F 测试中以 86.1% 的 pass@32 成绩超过 671B 参数的 DeepSeek-Prover-V2 的 82.4%，其 32B 版本达到 93.0%，还解出 PutnamBench 的 672 题中的 93 题；Goedel-Prover-V2 的 8B 与 32B 模型分别达到 84.6% 和 88.1%。这些案例说明，在明确的形式证明任务上，参数量和性能的关系未必简单，适当数据生成、LoRA 等高效微调与领域设计可能帮助较小模型。不过相关论文未完整公布训练 GPU 小时，不能把“中等算力可行”说成已精确核算的结论。

算力成本尤其需要诚实报告。英国报告以 2026 年 10 月 15 日英格兰银行 1 英镑兑 1.3253 美元的汇率统一换算报价，排除增值税，强调有些价格来自厂商、有些是二手媒体数据、有些只是作者建立的假设。以 First Proof 第二批十题的账单为例，ProofCouncil 花约 2404 英镑通过 6 题，成本约 401 英镑/题；UCLA Moonshot 流程花 3621 英镑通过 5 题，约 724 英镑/题；ChatGPT 5.5 Pro 花 88 英镑通过 5 题，约 18 英镑/题；Princeton Momus 的估算花费 765 英镑通过 1 题。四个系统合计约 6878 英镑、17 次通过，平均每次约 405 英镑。第三批中，GPT-6 Astra 约 27 英镑通过 7 题，约 4 英镑/题；Siege 约 1056 英镑提交并通过 3 题，约 352 英镑/题；ProofCouncil 约 1425 英镑通过 9 题，约 158 英镑/题；MerLean 约 4016 英镑通过 4 题，约 1004 英镑/题；Humanize 约 1605 英镑未通过，不能计算每次通过成本。合计约 8129 英镑、23 次通过，平均约 353 英镑；单次查询模式的成本在四个月间下降约 78%，ProofCouncil 下降约 60%。但两批的“通过”定义、审稿尺度、并行时间和费用估法不同，作者明示不可直接进行严丝合缝的横向比较。

其他公开案例说明成本分布可以极不均衡。ProofCouncil 针对研究者提交的 33 道开放题，每次尝试约 161 英镑，21 份完成审查的输出中有 5 份完整解答；针对 353 道厄尔多斯开放题的 AlphaProof Nexus 每题花费约 150 至 300 英镑，另有未计入的形式证明 TPU 开销；FrontierMath 厄尔多斯题默认预算约 226 英镑、72 小时，额外尝试曾为五道成功答案投入超过 16.6 万英镑，平均每题约 3.3 万英镑；Mistral Leanstral 1.5 在厂商报告里以每题约 3 英镑的成本完成 PutnamBench 的 587/672。对于 OpenAI 的一次 719 篇手稿发布，原始公司说明称平均每个成果用了相当于约三小时 ChatGPT Pro 深度推理的计算，未公开所有失败尝试和具体并行机制；英国报告据此粗估每个保留成果约 20 至 200 英镑，计入失败问题后每个结果家族约 220 至 2200 英镑，但这只是依赖模型速度、并行度和 API 代理价格的外部估算。Anthropic 费马大定理形式化的 60 亿输出词元，外推约 9.1 万至 22.6 万英镑；纳维—斯托克斯工作的 1300 亿输出词元，以 GPT-6 Astra 每百万输出词元约 37.73 英镑的公开费率类比，约 490 万英镑，批量优惠价可能约 245 万英镑；若算上总共 3000 亿尝试输出词元，按同一方法可达约 1130 万英镑。这些不是企业实际内部成本，输入词元也未完整计入，因此不可当作账单或确认过的花费。

个人和大学的预算同样复杂。2026 年 10 月，材料列出 ChatGPT Plus、Claude Pro、Google AI Pro 等基础订阅大致每月 15 至 20 英镑级别；ChatGPT Pro 100、200、500 等层级对应约 75、151、377 英镑；Claude Max 的 5 倍与 20 倍档约 75 和 151 英镑；Google Ultra 不同额度也在类似区间。教育价格由机构议定：加州大学戴维斯分校的 ChatGPT Edu 曾公告每年约 144 美元、康涅狄格大学约 236 美元；牛津提供免费教育账户，但重度使用额外计费；Google 教育专业版每月约 12.60 英镑；Anthropic 在 2026 年 8 月宣布面向科学家的团队项目，包括一万个席位、一定期限内免费或折扣席位，以及每个项目至多五万美元的 API 额度。Jisc 与 OpenAI 的英国部门试点合同总价约 756 万美元，服务期为 2026 年 10 月至 2029 年 3 月。尽管已有这些项目，一项涵盖 117 个国家、10480 名研究者的 2026 年春季调查仍显示，只有约 11% 的人由机构资助其主要 AI 工具，其余多用免费层或自费。更重要的是，套餐的使用上限会改变，升级的名义价格不能直接代表研究者真正可获得的连续计算容量。

API 的差距更值得关注。英国报告 2026 年 10 月的换算表中，每百万词元的输入和输出价分别约为：GPT-6 Astra 输入£7.55、输出£37.73，缓存输入£0.75；Claude Fable 5.1 输入£7.55、输出£37.73；Claude Opus 5.5 输入£3.02、输出£15.09；GPT-6.1 Sol 和 Claude Sonnet 5.5 输入约£1.51、输出约£7.55；Gemini 4 Argon 在 2026 年 11 月底以前输入约£1.51、输出£7.55，12 月起预计分别翻倍；DeepSeek V4-Pro 的开放权重服务高峰时输入£1.00、输出£2.99，低峰约一半。厂商的批处理有时减半收费，快速推理、限定数据存储地区等又可能加价。按报告假设，一个重度研究用户每年 220 个工作日、每天 50 万输出和 200 万输入词元，也就是全年约 1.1 亿输出和 4.4 亿输入词元；代理密集型用户再高十倍。以此计算，前沿 API 可能使重度用户每年花费约 5000 英镑、代理型用户约 5.2 万英镑；较低价的闭源 API 可能降到约 2100 和 2.1 万英镑，中档 API 约 1000 和 1.05 万英镑。这是需要科研经费认真安排的支出，而不该要求研究者自己长期垫付。

低价不等于整体公平。某一固定能力水平的推理价格可能每年下降 5 至 10 倍，有研究给出更广泛的 9 至 900 倍历史降幅；然而运行当期最前沿模型的成本可能每年上升 3 至 18 倍，因为模型变大、思考更长、企业也调整套餐和使用限额。材料记录 2026 年包括 Google 调整收费、OpenAI 减少某档 Pro 额度、Anthropic 折扣供给等相反方向的信号。报告还讨论 OpenAI 与 Anthropic 当年秘密提交上市注册文件的公告、二级媒体关于其收入、经营利润率和 IPO 安排的报道，以及微软、Meta、Alphabet、亚马逊合计约 7200 亿至 7450 亿美元的 2026 年资本开支指引。这些商业数字有不同来源和不确定性，不能当作经审计的统一事实；它们支撑的谨慎结论是，大学预算必须为未来需要的真实前沿能力留出空间，不应假定目前的优惠套餐会永远延续。

既然前沿 API 可能昂贵，又有保密风险，为什么不由数学共同体自建共享的开放模型节点？英国报告以 DeepSeek V4-Pro 为例：它约 1.6 万亿总参数、每次激活约 490 亿参数、100 万词元上下文，许可为 MIT；8 张 B200 GPU 的服务器在某些量化配置下能运行，8 张 H200 也可能在较低精度下运行，却受显存限制而难以使用完整长上下文。2026 年硬件报价中，8 张 H200 约 30 万英镑、8 张 B200 约 41.5 万英镑、8 张 B300 约 59.3 万英镑；8 张 B200 转售商报价约 29 万至 42.4 万英镑。按设备折旧、维护、英国电费、机柜与网络、研究软件工程师的工时、吞吐量和利用率进行估算，一台 8×B200 的共享节点每年成本可在约 11 万至 38 万英镑之间，中心情景约 21.5 万英镑；年输出可在约 71 亿至 833 亿词元之间，中心情景约 315 亿；中心每百万输出词元约 6.8 英镑，乐观情景约 1.3 英镑，悲观约 54 英镑。按前述使用习惯，中心情景约能服务 290 名重度用户，或 29 名代理型用户，平均每年每位约 750 英镑或 7500 英镑。设备使用率与吞吐量变化对经济性的影响，远大于只比较买价的差别。这些是作者有明确假设的成本模型，不是已经运行的公共服务器结算结果。

共享节点的最大价值也不是必然比最便宜的公共 API 省钱，而是数据主权、版本可固定、使用费用可预测、可进行数学领域微调、能处理未发表手稿和敏感资料。德国 GWDG 已经向学术界提供部分本地托管开放模型，英国爱丁堡有自己的 ELM 系统；英国 AIRR 的 Isambard-AI 拥有 5448 张 GH200，剑桥还有 Zenith，并提供按项目申请 GPU 小时的制度，但当时尚未建立面向数学家的永久共享推理服务。对大学联盟而言，自建和共建服务可能比每个系单独购买合理；对机密期刊评审、基金评估、商业数据分析与医疗研究，它尤其有吸引力。可复现性也是理由：封闭模型常会更新、不能确定地重现旧结果，一项 100 道博士级问题的测试发现不同运行间的答案存在显著差异；可固定版本的开放权重系统在此有天然优势。

工具访问还可能因外部政策突然中断。报告记录 2026 年 6 月 12 日美国限制外国国民访问两款前沿模型，直到 7 月 1 日才恢复，研究者面临近三周的断供。英国当时的五亿英镑主权 AI 计划偏向企业投资与初创公司，大型公共 GPU 能力也未必提供数学研究的持续推理服务。对数学共同体来说，充分自主不等于把每款闭源模型都自行重训一遍；更务实的是同时争取商业前沿模型的公平协议、政府和基金对词元与算力经费的正式认可、联盟托管的开放模型、可持续维护的数学知识库，以及模型出现故障、停用或价格暴涨时的替代方案。

十一、开放数学模型、国际合作和新的公共科研基础设施应该怎样建设？

我参与共同创办的非营利研究组织 Foundation for Science and AI Research（SAIR）在 2026 年 9 月宣布 Open Math Model 计划，希望数学模型能够获得开放权重、代码和训练数据，并建立以研究共同体为中心的治理方式。合作伙伴包括 Hugging Face、Lean FRO、瑞士国家超级计算中心 CSCS 和洛桑联邦理工学院 EPFL。这个项目重视经同意的数据收集，以五个小组参与治理；10 月 16 日试运行的 Open Math OS 在捐助算力上托管已有的开放模型，向学术团队提供免费账户，并提出服务约一万名数学家的目标。最现实的近期路径是从已有开放基础模型继续进行数学专门训练，而不是马上投入巨资从零预训练；从头建立完整开放模型是更远的目标。它可能帮助研究者获得可审查、可实验、不会完全依赖少数公司的助手，但我不会把尚未达到前沿能力的模型说成已经解决了研究资源不均的难题。

与此相近的还有由西蒙·弗里德尔推动的 Fields Model Initiative，使用包括日本国立信息学研究所提供的计算资源，尝试完全开放的数学模型，并报告了 FM-Pochi-32B 在 IMO 2026 达到铜牌级别的主张；这项成绩在英国报告里标明尚未独立核实。欧洲还有多种不同构想：斯诺尔·克里斯蒂安森致欧洲数学会的公开信，倡议通过欧洲研究理事会与欧洲数学会治理一个 AI 增强数学研究机构，侧重文献、证明检查和形式化助手；迪米特里斯·库库洛普洛斯在我博客提出“科学研究的 CERN”模式，倡议加拿大与欧洲共同建立由公共部门资助和治理的高性能学术 AI 设施，为每个研究者提供基本使用机会，把重度计算通过竞争分配。在这些建议中，数学家主导公共目标比单纯拥有一套漂亮的模型参数更重要。

欧洲并非毫无技术基础。法国 Mistral 在 2026 年发布 Apache 2.0 许可的 Leanstral 1.5 形式证明模型，约 1190 亿总参数、60 亿活跃参数，厂商声称以低成本解出 PutnamBench 大量形式题；较早还有 7B 参数的 Mathstral。巴黎非营利机构 Project Numina 获 XTX Markets 约 300 万欧元支持，开发开放数学数据和证明器。瑞士 AI 计划的 Apertus 1.5 全面开放权重、数据与代码，虽然不专攻数学，却可以用来做数学微调。OpenEuroLLM 正在建设欧洲开放基础模型；EuroHPC 的 Frontier AI Grand Challenge 准备提供大规模训练资源；RAISE（欧洲 AI 科学资源计划）在 2025 年启动试点，原报告列出 2025 年约 3300 万欧元、2026—2027 年约 1.07 亿欧元项目预算，以及约 6 亿欧元算力使用安排，覆盖物理、材料、生命、地球和社会科学，但最初未将数学明确列入重点，也不直接建设自有模型。InvestAI 计划中的 200 亿欧元 AI 超级工厂基金，亦尚未明确规定开放或数学专项目标。

“AI 版 CERN”的说法并非 2026 年才出现。CLAIRE 和 euRobotics 曾在 2023 年提出六年约 1000 亿欧元的构想，欧盟首席科学顾问在 2024 年建议分布式科学设施，后续还有三年约 300 亿至 350 亿欧元、包含英国和瑞士的蓝图。批评者提醒，若某项目缺少跨国条约、独立治理和稳定拨款，即使称作“超级工厂”，也未必具备欧洲核子研究中心式的公共科研制度。加拿大—欧盟数字伙伴关系理事会在 2025 年 12 月承诺探索面向公共利益的先进 AI 模型联合开发；中国清华大学 2026 年 10 月提出的姚氏实验室联盟，将数学专项模型列为多个方向之一，但开放性和预算不清楚；美国 NSF 与 NVIDIA 提供约 1.52 亿美元支持 Ai2 开发充分开放的科学 OLMo 模型，却没有专门数学定位。英国 AIRR 及科学 AI 战略尚未将数学放到应有的显著位置。因此，我认为数学界可以加入 SAIR 或 Fields 项目、争取 RAISE 中的数学网络、推动数学进入英国公共算力的资助优先级；但不能忽视当期开放模型的能力差距、安全与许可义务。

选择许可与治理模型需要仔细研究。某些声称开放权重的模型对超过特定收入规模的模型即服务运营商要求额外许可，例如材料讨论 Kimi K3 的相关条款；Apertus、OLMo、MIT 许可的 DeepSeek 和 Apache 许可的 Mistral 通常给予更明确的重用自由。完整开放也与训练数据版权、模型安全、网络攻击能力和法规边界发生张力。哈佛峰会的开源工作组认为，试图由数学社区独立打造一个同时具备前沿研究能力、充分开放透明、低门槛访问的完整模型，短期不太可能把三项目标全部实现。更可靠的策略是寻找价值观相近的伙伴，包括 AI 安全机构，由具备能力的团队负责模型训练和合规，而数学家集中贡献最难替代的专业判断：设计高质量的数据生成流程、构造强化学习任务、定义具有数学价值的评价、开发适合共同体长期维护的知识基础设施。

开放数学研究项目应该被当作公用设施而非展示性网页。编码代理已显著降低开发定制研究工具的成本，数学家甚至可以围绕一个问题自己“造实验室”，设计交互式表达、可视化、数据库、算法探索和跨学科演示。报告举到有关$\mathbb Q_2$绝对伽罗瓦群表示、非圆形 Schiffer 区域、Gross/Lattice 和 Tau Ceti Atlas 等实验性项目。关键不在于制作网站的技术是否低廉，而在于数学抽象、可靠性和长期维护。项目应标明创建者、维护者、用途、用户数据的处理方式、源代码和许可；数学研究所可建立发现新资源的目录或协调平台，类似 mathmeetings.net 帮助人们发现研讨会那样，避免资源重复建设却无人长期更新。一个能被多人使用、持续扩展、反复核实的基础设施，应该与一项高水平定理一样获得学术尊重。

十二、如果数学共同体现在就行动，我希望哪些制度首先改变？

2026 年 10 月的哈佛峰会在 32 位数学家、五个工作组的讨论之后，形成了十项优先建议。我愿意把它们连成一套行动原则。第一，由数学家自己领导职业转型，用长期合作、组织资源与认可机制支持新工作；第二，承认数学贡献形态更加多样，更新大学激励与评价体系；第三，优先培养、资助并赋权学生与青年数学家；第四，建设互联、精心整理的数学知识库，让数据库、互动研究和优质解说获得出版途径；第五，把形式化证明当作传统数学的补充，并由学科专家参与可复用库的构建和维护；第六，在数学共同体指导下，建立大学、产业和政府的长期伙伴关系，使发现、人类理解与 AI 安全同步推进，始终让人——尤其是受训者——站在中心；第七，支持大型协作所需的共同资源、知识组织、研究进度记录和贡献署名；第八，重申公平、尊重、准确归功和合作等职业规范；第九，为不使用 AI 的人保留从事数学研究和取得贡献的真实机会；第十，让数学家有更多机会向公众解释数学的力量与美，并把这种沟通视为推动数学的学术劳动。

这些建议不是一个抽象的未来愿景，其中若干可以马上进入系务会议、招生规则、岗位说明、审稿政策和资助评议。峰会鼓励数学系修改研究能力的证据清单，认可阐释、教材、技术与社区项目；允许不同职业阶段的人在高校、国家实验室、非营利研究机构和行业之间流动，使用灵活休假、联合聘任、产业研究者岗位和实习通道；对能够与政府资助者、议员和公众有效沟通的数学家给予职业奖励。大学可为长期大型合作提供计算、会场、行政与维护资源，为青年人和新进入者设计可参与的任务；课题可以跨越数学与其他自然科学。专业学会还应制定合理的成果归属、错误处理、AI 披露和学术责任规范，把它们落实到编辑、同行评审、招聘和基金评审中，而不是停留在声明的标题。

峰会关于人和 AI 实验室合作的建议也十分具体。下一代数学家的培养是大学与产业能够作出的最重要投资之一；AI 安全应成为与政府共同参与的关键研究领域；除了让机器解决已经定义好的经典难题，还应研究怎样利用模型寻找新问题、建立新结构、发现概念和加速科学技术中的数学应用。在可能的情况下，AI 实验室应披露解题过程中重要的逐步策略、先前工作的依赖关系以及可验证的过程信息，以便数学家从机器走过的路线中提炼新思想；还可以共同建设发现、可视化、出版、展示和科学交流工具。为协调跨领域和全球各地的利益，峰会建议设立若干由不同类型机构、地区和研究方向广泛代表组成的数学顾问委员会，而不是把所有标准留给单一公司确定。

英国数学科学院的六位报告作者——Christoph Reisinger、Rachel Bearon、Thomas Bloom、Jennifer Gaskell、David Leslie 和 Zubin Siganporia——提出了跨纯数学、应用数学、统计与运筹学的八类共同需要，并按“未来十二个月”与“三至五年”分别列出责任机构。与美国峰会相比，这份报告尤其强调独立证据、英国及欧洲的资源自主性、产业应用、成本和工作岗位。其八项需求是：人才与技能、独立评估、可负担的工具访问、科研评价与归功、研究投资、出版传播、共同知识基础设施和社区规范。报告估计，除了前沿模型访问开销较大，其余许多行动每年所需预算是几十万至数百万英镑量级，相比整个 AI 投资并不巨大，却会影响可靠科学、公共决策与长期高技能劳动力。

在未来十二个月内，大学及学会应先给博士项目、导师和本科及硕士教学提供可测试、可共享的 AI 使用与考核指引；把良好课程与评价案例公开收集，特别保护受到抢先发表压力的青年学者。研究所和基金应推动跨学科的独立能力测评，仿照 First Proof 与 FrontierMath，但扩展到统计、建模、优化，预先固定测试规则、保密题目，报告失败和计算资源；对重大 AI 数学公告组织迅速而独立的专家解释。大学联盟应谈判能够跨机构公平使用的模型许可，基金应将 API 词元、模型服务和 GPU 预算正式视为可报销科研费用。聘任与晋升、基金申请应更多评价少量最好的作品，采用口试、现场问答和持续贡献的证据，避免机器产生的大量手稿挤压有深度的研究者；同时制定筛选材料时 AI 使用的隐私与偏差保障。

基金和出版者应保护长期、好奇心驱动的研究，对理论 AI 的效率、安全、可解释性与可证明保证给予独立经费，并主动把数学家、政府与产业召集起来，寻找更有雄心的现实问题。出版社要系统收集投稿量、审稿负担、AI 使用和拒审数据，评估 arXiv 限流及期刊停收是否真的有用，在临时措施固化之前进行复盘；还要制定 AI 使用披露、成果来源、论文训练数据许可等共同标准，建立处于出版社自身控制之下的保密完整性检查工具。Mathlib 和类似的正式库、审稿维护者、研究软件工程师、arXiv 和 zbMATH 等数据库应当成为基础设施经费的正式对象，而不是长期依赖志愿者或个别富豪的爱好。

在三至五年内，最重要的是保证人才通道扩张而不是萎缩：由政府、大学、产业和慈善组织共同投资博士生与早期岗位；与雇主设计结构化的毕业生入口，让数学毕业生在 AI 赋能经济中的优势转化为真实就业；将形式化、核验和批判性使用 AI 纳入数学培养，而不牺牲基础知识。研究共同体应建立商业敏感数据也能使用的本地模型服务、按公平规则分配的大型公共算力设施、持续的独立 AI 能力观察机制，以及适合应用数学和统计学的可复现实验、验证与不确定性报告规范。对出版，可以尝试“验证注册簿＋叠加期刊”或有明确审核状态的预印本，将大量自动生成结果放在单独标识的渠道，避免它们淹没正常学术交流；通过报酬、减轻教学负担或正式评价信用，为审稿人和编辑的瓶颈劳动提供资源。针对英国 Research Excellence Framework 等评价体系，也应把形式化库、数据集、问题整理、研究解说、评审工作正式列入成果类型。最后，数学学会、出版者、AI 开发商需要长期对话的常设论坛，讨论成果公布前评议、提示词与资源透明、先前人类工作的署名、用户数据机密和 AI 审稿边界，让规则随技术演变而更新，而不由任何单一方单方面决定。

我尤其反对将“广泛使用 AI”变成隐形的研究资格证。数学可以有主动拥抱模型的人，也应该有选择继续用纸笔、独立推导和传统方法的人。两者成果应以科学意义、严谨性、人类理解与诚实归功评价，而不应只按是否使用最热门模型决定价值。让一部分数学家坚持慢而细致的研究，可能恰是保护共同体对知识的另一种理解方式。技术能力增长得再快，都不应迫使不同生命阶段、不同经济条件、不同专业传统的人被排除在数学之外。

十三、是谁在资助、组织和维护这场转型？

一套新制度必须回答经费从哪里来、由谁负责持续维护。2026 年全球已有许多早期努力。Renaissance Philanthropy 与 XTX Markets 的 AI for Math Fund 跨三轮投入约 3510 万美元，每项资助约 10 万至 100 万美元；材料记录亚历克斯·格尔科为 Lean FRO 与 Mathlib 提供 1000 万美元捐赠，XTX 又作出支持这些形式化机构未来运行的重大承诺；XTX 于 2025 年 12 月向英国七所大学承诺约 2637 万英镑，资助超过 100 个纯数学博士生和博士后岗位，即使这些岗位并非专门为了 AI。2026 年秋，它还宣布给帝国理工学院由凯文·巴扎德主持的 Langlands Lab 约 500 万英镑、给 ICMS 约 50 万英镑以推动英国数学家的算力访问和培训、支持在线研究工作空间等。西蒙斯基金会于 10 月宣布 1500 万美元计划，并得到 Anthropic、OpenAI 的资源支持，用于数学家评价 AI 结果、参与工作坊和获得计算资源。DARPA expMath、NSF AIMing、英国 ARIA Safeguarded AI、欧洲研究理事会的 HALF 计划、英国 EPSRC 支持的费马大定理形式化，分别以不同方式投资技术、教育、安全和基础数学。

这些资金确实令人鼓舞，却也暴露过度依赖少数私人资助者的风险。英国报告强调，目前正式数学库、青年岗位、纯数学研究与 AI 评估有相当一部分经费来自个别捐赠者；当公共基础设施长期由少数人维持时，项目方向、持续性与学术自主性都可能变得脆弱。大学不能仅把慈善资金看成填补预算缺口的短期手段，而应与公共机构共同承担长期人力成本，包括维护者、审稿人员、研究软件工程师、数据治理人员和学术组织者。数学家在项目中看似“不产论文”的工作——重写说明、修正库、帮助新手加入、连接两所大学、担任长期协调者——需要正式岗位与可预期的职业道路。

产业合作也正在有意识地扩大。Anthropic Fellows、OpenAI 安全研究奖学金、Google DeepMind 教育项目，以及 Google 与非洲数学科学研究所合作的研究生教育，都是向人才培养投入资源的例子。SAIR、数学 AI 安全研究所 MAISI、负责任超级智能研究所 RESI、Alignment Research Center 和 Resolution 等独立机构，将数学、理论计算机科学和产业界联结起来研究模型基础与安全。AGMAI——数学与人工智能咨询工作组——收集数学家的意见、与实验室交流，并提出数学成果发布规范。主要 AI 公司提出过把部分企业股权用于公共利益的承诺，若能妥善治理，可为长期基础研究与年轻人才提供新渠道。Simons、OpenAI、Anthropic 等于 2026 年宣布的资助举措具有示范意义，但只能视为开始，不能替代大学、政府和公共共同体的稳定责任。

国际机构也已行动。美国数学会自 2023 年组织 AI 工作组，并于 2024 年形成关于数学职业、大学教育、出版、公众参与与公平、科学政策的系列白皮书；美国数学会期刊要求披露 AI 使用、不将 AI 列为作者，并反对把待审文章上传给不受控模型。国际工业与应用数学理事会 ICIAM 在 2026 年强调稳定性、误差控制、量化不确定性、符合物理的结构、公开失败与算力、公平访问验证环境；伦敦数学会要求期刊 AI 声明，并将审稿人上传保密文稿视为不当行为；英国皇家统计学会倡议“AI 就是统计学”，英国运筹学会推动可靠 AI 与从业者训练，英国数学及其应用学会推动产学政对话。皇家学会、欧洲数学会、国际数学联盟、法国、西班牙和意大利数学学会也陆续对 AI 数学研究及纳维—斯托克斯公告作出回应。国际数学联盟支持《莱顿宣言》的相关规范，欧洲数学会肯定其讨论价值但未必采用完全相同的正式背书程序；包括 28 位菲尔兹奖得主在内的数学家曾警告，将著名开放问题当作模型榜单并匆忙公布结果，可能让长周期理论建设受到错误评价。

研究所和专业平台正在形成新的协作网络。英国艾萨克·牛顿研究所于 2026 年 3 月开展“AI 与开放数学科学”研讨，ICMS 安排“AI × Mathematics”和“面向工作数学家的 AI”等活动；美国卡内基梅隆的 ICARM 由杰里米·阿维加德等推动，获得 NSF 与 Simons 支持，此外 AIM、IPAM、ICERM、IMSI、SLMath、IAS 等组织也有相关项目；加拿大 Fields Institute 设立数学 AI 中心，欧洲 IHES 和 EPFL 开展数学与大语言模型、自动形式化研究，中国北京大学及相关中心有采用代理配合 Lean 证明交换代数结果的工作。First Proof、FrontierMath、MathArena 和 NeurIPS MATH-AI 提供测试与讨论，Leiden Declaration、AGMAI 建议和 28 位菲尔兹奖得主公开声明则尝试建立负责任的发布准则。还有 zbMATH Open、arXiv、MathSciNet 及大型出版社的 AI 出版政策；美国数学会也在研究机器学习辅助学科分类和数学评论初稿。把这些散布在各机构的成果建立共同证据库，可能是下一阶段最重要、也最容易被忽视的任务。

十四、我最后想把这场讨论带回什么地方？

我总是想到数学研究不是一场由少数天才独自完成的速度竞赛，而是一项积累了数千年的人类文化实践。机器今天写出的结果，也是在几代数学家创造的语言、定理、技巧、问题、教材和公开知识之上形成的。卡莱加里曾建议，数学职业共同体应更主动地把这些机器成果视作人类共同智力事业的延伸，而不必把每项成绩全部归功于某位硅谷富豪或某位在社交媒体上抢先传播的人。这样说并非否认模型开发者的劳动，更不是纵容无署名地利用别人的论文；它是让我们记得，数学的历史贡献和未来价值不是一个公司、一轮新闻发布会能够独自占有的。

卡莱加里提到，他所在大学的一位院长赴纽约与捐赠者和芝加哥大学的朋友见面，发现无论是否学过数学，大家都很想谈数学。3Blue1Brown 有数百万观众，也说明公众关心数学并不以能够跟上每篇技术论文为前提。他在人文学科的朋友同样确信：社会需要数学家，一方面作为古老智力传统的守护者，另一方面作为知识前沿的探索者。我们当然会失去一些珍爱的职业文化，但现在也是告诉公众数学为什么仍有众多机会、为什么值得保持好奇、为什么数学家还应大胆冒险的时刻。卡莱加里所说的这份乐观，还与我博客上内斯托尔·吉廉关于人类应当共享机器成果、本·安蒂奥关于 AI 让研究计划更加大胆、布琳娜·克拉关于定理稀缺不再可靠地标识深层思想等讨论互相呼应。

拉纳德把“公共物品问题”说得更具体：当人类从田间劳动转向室内工作，我们发明健身房，努力补偿身体活动的减少；今天认知劳动被机器替代，我们也可能需要刻意锻炼智力，但这里有一个关键区别——人们通常付钱去健身房，而过去的入门岗位与博士项目却相当于社会付钱让年轻人健身，他们一边训练，一边创造有用的工作成果。如果这些岗位萎缩，我们怎样训练下一代，怎样让他们相信投入智力训练有意义？这不可能单靠更聪明的 AI 导师解决。需要奖赏理解与解释的社会文化，需要大学、研究院、政府、公司、基金会共同承担成本，需要数学家和公众都认可学习本身的价值。她呼吁大学管理者公开承诺持续招聘科学、工程、社会科学和人文学科的人才；呼吁慈善家和资助机构支持开放研究、理论探索和严格的基础教育，让学生知道社会将为他们的未来提供机会，而不只是要求他们自己面对技术冲击。

我也愿意让这个呼吁更深入一点。我们的目标不是人工地制造人类比机器厉害的虚假比赛，也不是要求所有人把个人尊严系于拿到终身教职或菲尔兹奖。我们希望保留的是能够认真提出问题的人、能够理解答案的人、能够解释错误的人、能够与不同背景同事一起讨论的人、能够把数学知识用于真实世界并承担后果的人。若未来证明变得极其充裕，数学应该把更多声誉与资源分给这些工作。我们既要支持独立的人类思考，也要学习利用机器来发现新的数学。速度可以令人兴奋，但缓慢、稳健、仔细的理解不应变成落后者的标志。让别人指出你不懂的地方、坦承自己尚未弄明白、改变原本相信的研究设想，在成熟的数学文化中都是力量，而非耻辱。

这当然不是一张能立刻解决所有问题的政策清单。资金、就业、形式化、行业数据、AI 安全、教学负担和成果署名将不断出现新的取舍。我们应该持续尝试新工具和制度，定期检验它们的实际效果，而不是假设技术自然会把所有人带向好未来。对于重要论文，我们必须验证它究竟证明了什么；对于重要模型，我们必须知道它对哪类任务有效、在哪些任务上会失败；对于重要制度，我们必须问受益者是谁、成本由谁承担、哪些人被留在门外。AI 帮助我们更加了解数学的可能性，应该成为更广泛人类理解的起点，而不是人类放弃理解的借口。数学没有结束。我们有责任让这门学科的未来既更加雄心勃勃，也更加开放、公平、诚实和富于人性。

---

附录一：五份材料的原始属性、个人经历与说明

第一份材料：吉里娅·拉纳德《AI, Mathematics, Education, and a public goods problem》，2026 年 10 月 29 日。这是她应陶哲轩和内斯托尔·吉廉邀请撰写、刊于陶哲轩博客的客座文章，最初由另一种文件格式借助 AI 转换。文中学生向教师寻求情绪支持、Gold 2002 数学训练、对 M. Prakash 老师的感激、任职 EECS 系并教授优化、概率和深度学习、对舞蹈的兴趣、从报纸上的诺贝尔奖形成的价值观等，均是拉纳德的叙述，不属于陶哲轩的个人回忆。作者感谢陶哲轩、Nestor Guillen 的邀请，感谢 Ted Theodosopoulos 的首场 Relatorium 数学与 AI 对话，以及 Anant Sahai 长期讨论、Vinayak Ranade、Sukhada Fadnavis、Shubhangi Saraf、Amit Sahai 的反馈，还有 2026 年 Renaissance Philanthropy AI for Math Workshop 的组织者与参与者。她的十五则注释对正文作出这些限定：挑战式学习并不适合所有学生；就业分析刻意限于高度数学训练者的岗位；即使社会只需要顶级数学家的说法只是反事实设想；Gold 2002 有 200 余位受训学生、其中数人获得 IMO 奖牌；她任教的课程偏向数学；她本人喜欢但无法靠跳舞谋生；AI 增强人的能力也不等于 AI 拥有人的理解；将来若有比乘法表更好的基础技能，她接受替代；“四盏灯”引自皮卡德；每名真正获得博士训练的人都是一位新的人类专家；“AI 袜子木偶”并非完全等同网络用语 meat proxy；leantutor.org 展示降低 Lean 使用门槛的工作；“更难、更好、更扎实”并不意味着更快；提示工程和 AI 素养课程有其就业作用，却不替代思辨训练；课程应建立基础阶段的层层支架，使学生最终能够接触最困难的内容。原文收录于陶哲轩博客的 2026 年 10 月 29 日客座栏目。

第二份材料：哈佛数学科学与应用中心（CMSA）《Report of Summit on Math Research in the Age of AI》，峰会 2026 年 10 月 22—23 日。这是 32 位来自高校、政府和产业界的数学家经五个工作组形成的共识报告，不代表每位与会者在所有问题上毫无异议。报告讨论研究评价、生产与传播；AI 时代的协同行动；开源工具；数学形式化；学术界和 AI 实验室合作，也说明同年 9 月另有关于 AI 时代数学博士教育的类似峰会，而出版与本科数学教育等议题可供未来专门会议讨论。报告的工作本身可能增加短期教师负担，但作者认为支持学生与青年学者、转向新规范所需的投入不可省略。报告特别指出其建议同时涉及大学、政府、业界和非营利机构。与会者包括 Mohammed Abouzaid、Antonio Auffinger、Jeremy Avigad、Boaz Barak、Agnès Beaudry、Joan Bruna、Linda Chen、Jaume de Dios Pont、Mike Douglas、Pavel Etingof、Dan Freed、Bogdan Georgiev、Mathilde Gerbelli-Gauthier、Javier Gómez-Serrano、Nestor Guillen、Larry Guth、Ahsan Khan、Bryna Kra、Tie Luo、Melanie Matchett Wood、Shivam Nadimpalli、Eric Price、Rachel Pries、Emily Riehl、Patrick Shafto、Andrew Sutherland、Jennifer Taback、Adam Topaz、Tatiana Toro、Caroline Turnage-Butterbaugh、Anthony Várilly-Alvarado 以及 Stefan M. Wild；以上名单体现了该报告跨领域、跨机构的集体性质。

第三份材料：《The Mathematical Sciences in an AI-enabled World: Opportunities, risks, and community needs》，2026 年 10 月 28 日预发表稿。作者为牛津大学 Christoph Reisinger、伦敦国王学院 Rachel Bearon、曼彻斯特大学 Thomas Bloom、格拉斯哥大学 Jennifer Gaskell、兰卡斯特大学 David Leslie 及 QED Analytics 的 Zubin Siganporia。正文范围覆盖纯数学、应用数学、科学计算、统计、数据科学、运筹与优化、工业数学和 AI 的数学基础，并明确表示：不处理学校教育全貌，也不编写 AI 技术方法综述；更广泛的 AI 伦理问题虽重要，但非此文主要范围。它分为“新近发展”“机会”“风险及缓解”“共同需求”四部分，另附“AI 在纯数学的能力及至 2036 年情景”“AI 成本与访问”“英国内外共同体项目”三份附录及分主题文献目录。作者感谢 Robert Brignall、Edward Fauchon-Jones、Leslie Ann Goldberg、Ursula Martin、James Maynard、Jan Obłój、Florian Pein、Gaetano Romano 和 Sakura Schafer-Nameki 的意见，并披露 Claude 广泛用于查找实例和文献、制作时间轴与表格、修改正文，以及起草附录；所有内容由作者本人审查并承担责任。原文中大量具体价格、研究能力和企业财政预测都只代表 2026 年 10 月这一时点的资料，并按厂商报告、新闻转述或作者假设划分证据等级。

第四份材料：弗兰克·卡莱加里《Mathematics has changed. Let’s act like it》，2026 年 11 月 1 日。这也是我博客上的客座文章，最初文件格式转换时使用过 AI。文中 15 岁开始思考$\zeta(3)$、17 岁确立数论研究方向、在墨尔本接触双曲几何、芝加哥大学院长与捐赠者的交谈，以及他关于大学招聘、研讨会和研究生课程的主张，都属于卡莱加里的作者经历与判断。他提出的六项实际建议分别是：一律按可能有 AI 辅助来评价成果；重视个人互动，面试博士后与研究生；要求期刊改革，必要时离开无法适应的期刊；拓宽研究生教育而不放弃技术训练；改善研讨会；数学家作为共同体应更主动理解并承担机器成果。他引用迪米尼尔 - 科潘的反应，也补充其完整言论表达了对数学共同体韧性的信心；文章末尾提及内斯托尔·吉廉、本·安蒂奥、布琳娜·克拉与相关论题的联系。原文收录于陶哲轩博客的 2026 年 11 月 1 日客座栏目。

第五份材料：Karthik C. S.、Amit Sahai、Jie Xue《Egoless Mathematics in the AI Era》，2026 年 11 月 2 日。文章在我博客上客座发表，原始文件经 AI 转成博客格式。其对数学“发现”与“发明”、柏拉图式真理、古生物化石、学术声誉、自我价值、德性、认识的喜悦、人机竞争及 AI 使用选择的讨论，是三位作者共同提出的哲学立场，而不是陶哲轩本人签署的宣言。作者以拉马努金关于方程和神之思想的名言作结，援引 Robert Kanigel 于 1992 年出版的《知无涯者》所载说法，并在文末声明思想属于作者，GPT Astra 6.0 与 GPT 6.1 Sol 曾协助起草。原文收录于陶哲轩博客的 2026 年 11 月 2 日客座栏目。

附录二：研究案例、数字、资料口径与相关文献

为使正文中的论述便于追溯，我还想保留英国报告附录里若干不适合直接插入叙事的技术口径。首先，能力评测不是单一分数。2025 年 IMO 金牌水准的 35/42、2026 年的 42/42 声称、2025 年 Putnam 的 103/120、FrontierMath Tier 4 在修订数据集上的成绩，以及 First Proof 不同批次的通过率，所用题目与评审程序不相同。First Proof 第二批被视作“通过”的稿件可包含小幅修订；第三批则在$-1$至$1$的正确性评分中要求平均分不低于$0.5$，并将可读性、引用另行计分。第三批采取不正确答案扣分、24 小时无人干预的设计；第二批中一些串行模型调用总时长约 5.8 小时，而其他代理流程约 23 小时并行完成不同问题。若按最严格的“所有审稿人认为近乎完美”的标准重新计算第二批，各系统的成功数将从原来的 6、5、5、1 降为 2、1、2、0；这不影响“单位成功成本下降”的总体判断，但提醒我们不要比较两个看似相同的百分比而忽略判定规则。Aletheia 曾发现模型有“无意识剽窃”的风险，报告认为问题越接近既有文献，模型越容易给出完整证明，也越要认真追踪知识来源。

其次，形式化成本与数据生成具有多个尺度。AlphaProof 把约一百万非形式化问题扩展为数千万经核验陈述，证明环境的正确性使 AI 可以自行形成强化学习反馈；有研究以 144 张 H100 生成 Goedel-Prover-V2 训练数据，有些较小证明模型在一台 8×H100 机器上完成评估，但没有完整的训练 GPU 小时和服务费用。英国报告估算，想把一个形式证明库做得大而可靠，不仅需要 GPU 和程序员，还需要领域专家反复判断“什么应该成为规范定义”。一套大型生成库即使超过 Mathlib 的规模，也不代表它与 Mathlib 在可维护性、可迁移性和专业认可度上等价。报告提到 Mathlib 仍对 AI 生成的粗糙形式化采取谨慎接受态度，版本更替会让未精炼的证明脚本迅速脆弱；Palomar 要求的形式化来源记录，因而既关系到署名，也关系到下一代模型训练数据的清洁度。

关于共享 GPU 节点，相关费用估算还依赖明确的技术假设。报告分别按设备三至五年折旧、硬件维护约 8% 至 12%、设备平均功率 9 至 14.3 千瓦、数据中心电能使用效率约 1.2 至 1.5、英国工商业电价约每千瓦时 22.25 至 25.17 便士，以及研究软件工程师四分之一到一整个人工年计算；人员成本按英国高校相应职级工资、雇主保险与养老金附加成本计入。吞吐量则从每秒约 1500 至 6600 输出词元、实际利用率 15% 至 40% 推导，中心情景取约每秒 4000 输出词元与 25% 利用率。租赁 8×B200 服务器连续运行一年，报告从不同云服务获得约 35.4 万、45.5 万、75.3 万英镑的报价或推导值，通常高于其中心自有节点成本，但租赁与购买所承担的资金、人才、故障和维护风险也不一样。报告对每百万输出词元和每位重度用户的费用，均基于这些假设，而不是对未来所有模型的确定报价。相关出处包括 Lenovo Press LP2368、英国 DESNZ《季度能源价格》、NVIDIA Dynamo、InferenceX、CoreWeave、Lambda、AWS 与英国高校薪资资料。

报告对模型自主与政策主权的判断同样有具体边界。一般开放模型能力落后约四个月的估算不能直接套用到研究级数学；某些专项 Lean 证明模型虽然能在特定小型基准超过更大的通用模型，却不能因此等同最前沿、通用的数学研究代理。英国公共资源 Isambard-AI、Zenith 与 AIRR 按项目分配算力，不等于给每位数学家提供长期、不受中断的安全推理服务。报告区分可固定权重和版本的本地模型与不断变化、非确定性的商用 API；也提醒 2026 年 6 月的断供主要涉及美国出口管制指令，后来政策发生调整，不能推导为永久禁用的常态。涉及上市、企业营收、毛利、股价、未来模型费率的内容，有相当一部分来自商业媒体或厂商自身预测，而非独立审计。对这些不确定资料，最安全的政策不是赌定某一种价格走势，而是维持多条可用路径。

关于文化、心理健康与长期研究，报告并不要求只保留“AI 不能做”的课题。恰恰相反，AI 适合某类研究，应当成为该方向更有雄心的理由；但我们也应保护那些尚无现成基准、需要多年发展概念的领域。英国报告引用一项涉及约 4100 万篇自然科学论文的研究：研究者使用 AI 后，个人产出与引用可能增加，但研究主题范围缩窄约 4.6%，研究者之间的互动下降约 22%。这项研究本身不能直接预测数学界必然出现同样结果，却有力提醒我们：把某个量化目标推到极致，有时会削弱多样性、合作与理解。担心被抢先、无法下班、不断监视模型新成果的压力，也已经进入数学家的日常生活。公共政策应该重视这样一种被计算能力增长遮住的稀缺资源——人的注意力、学习时间、职业稳定性与思想上的自由。

主要文献与研究依据

数学 AI 能力与验证。五份原材料涉及的主要技术研究和报道包括：Abouzaid、Srivastava、Ward、Williams 等关于 First Proof 第一批（arXiv:2602.05192）、第二批（arXiv:2606.18119）及第三批（Hexagon:2610.00244）的说明；DeepMind Aletheia 关于厄尔多斯问题的研究（arXiv:2601.22401），Feng 等关于自治数学研究的 Aletheia 报告（arXiv:2602.10177）；Georgiev、Gómez-Serrano、Tao、Wagner 关于 AlphaEvolve 探索 67 个问题的论文（arXiv:2511.02864）；Epoch AI 的 FrontierMath 与厄尔多斯开放问题评估；MathArena 的 2025 年 Putnam 基准；OpenAI 关于纳维—斯托克斯、单位距离反例及 2026 年 10 月数学研究发布的资料；Anthropic 关于费马大定理自动形式化的说明；Bastounis、Circelli、Hansen 关于纳维—斯托克斯形式陈述与自然语言之间差异的研究（arXiv:2610.08144）；Córdoba 与 Martínez-Zoroa 的流体问题研究（arXiv:2309.08495），以及 Alpöge 与 Buckmaster 的后续工作；我在 2026 年的 Math 2.0 讲稿及《Mathematics in the age of AI》（arXiv:2608.16753）；Timothy Gowers 关于大语言模型数学能力的文章；Kevin Buzzard 关于反例搜索与 Annals 挑战的讨论；Leonardo de Moura 有关 Lean 内核安全的事后分析；BrokenMath（arXiv:2510.04721）；Metaculus 关于计算机成为顶级期刊作者及解决千禧年难题的预测；Anthropic 在 2026 年有关模型访问限制与恢复的声明。

数学研究自动化与长程能力。可进一步参照 Villalobos 等在 Epoch AI 的《Will we run out of data?》；David Silver 与 Richard Sutton 的《Welcome to the Era of Experience》；Hubert 等发表在 Nature 上的 AlphaProof 研究；Yue 等关于可验证奖励强化学习的论文（arXiv:2504.13837）；Dong 与 Ma 的自博弈定理证明器（arXiv:2502.00212）；Poesia 等的 Minimo 研究（arXiv:2407.00695）；Patel 等关于数学趣味判断的研究（arXiv:2609.28603），以及 Mishra 等的《A matter of interest》（arXiv:2511.08548）；Zheng 等关于 AI 共同数学家的论文（arXiv:2605.06651）；Daniel Litt 的《Mathematics in the Library of Babel》；Avigad、Buzzard、Commelin、Degenne、Morrison、Nash、Topaz 关于如何形式化全部数学的讨论；Epoch AI 关于强化学习环境的分析，以及 DARPA expMath 计划。它们并不提出完全相同的未来判断，区分实证成绩、推测与目标尤其必要。

应用、统计、运筹与产业。参考《The Era of Mathematics》（Bond，2018）；Davies 等 2021 年发表在 Nature 上的机器学习辅助纽结理论与表示论研究；AlphaEvolve、AlphaTensor、FunSearch 及其后续关于简单启发式方法的复核（arXiv:2510.27353）；Wang、Lai、Gómez-Serrano、Buckmaster 等有关不稳定奇点的工作（arXiv:2509.14185）；GraphCast、ECMWF AIFS 的天气预测资料；McGreivy 与 Hakim 对机器学习求偏微分方程比较准则的评述；PDEAgent-Bench（arXiv:2605.09636）；Bertran、Fogliato、Wu 的多 AI 分析者研究（arXiv:2602.18710）；Miao、Pritchard、Zou 关于统计分析选择的研究（arXiv:2607.01507）；Angelopoulos 等的预测驱动推断（arXiv:2301.09633）；英国皇家统计学会《The Future Statistician》及致 AI 部长的信；OR-LLM 基准研究（arXiv:2508.10047）、ORAgentBench（arXiv:2606.19787）；Gurobi《2025 年优化现状》；ICIAM 的 2026 年数学与 AI 声明；Faure Ragani、Stein、Keene、Symington 对 176 位 NAFEMS 相关工程仿真从业者的调查研究（McKinsey，2023 年 6 月 21 日）。这些来源反复强调，应用结果的可信度不仅取决于算得对不对，更取决于模型是否真正反映现实目标与条件。

成本、开放模型与基础设施。技术与价格讨论的来源包括 Epoch AI 关于 LLM 推理价格、开放与封闭模型差距的资料；Gundlach、Lynch、Mertens、Thompson《The Price of Progress》（arXiv:2511.23455）；Schmitt、Gehrunger、Dekoninck 等关于 ProofCouncil 的报告（arXiv:2607.09474）；OpenAI、Anthropic、Google、DeepSeek 的公开报价及更改记录；AIRR、NVIDIA DeepSeek V4-Pro 部署资料和德国 GWDG 服务；Pythagoras-Prover（arXiv:2606.12594）、Goedel-Prover-V2（arXiv:2508.03613）；Tsoukalas 等的 AlphaProof Nexus（arXiv:2605.22763）；英格兰银行汇率、Lenovo 硬件价格、英国政府电价、InferenceX 吞吐数据、Jisc—OpenAI 采购公告、Springer Nature 全球研究者调查；SAIR Open Math Model、Fields Model Initiative、致欧洲数学会公开信、《A CERN for AI-assisted science》、RAISE、Apertus 1.5、OpenEuroLLM 及 EuroHPC。不同来源采用的输入输出词元费用、GPU 规格、服务使用率、资本折旧、数据驻留限制与许可定义存在差别，因此所有跨系统成本比较都应附上假设。

出版、职业规范和人才政策。相关依据还包括 arXiv 在 2026 年 10 月的提交频率限制；London Mathematical Society、Institute of Mathematics and its Applications、Royal Society、SIAM、Elsevier、Springer Nature、UKRI 和 COPE 等关于 AI 使用、审稿保密与科研责任的规则；一项跨 5114 份期刊的 AI 政策与辅助写作研究（arXiv:2512.06705）；《莱顿宣言》、28 位菲尔兹奖得主的《A Severe Misalignment of AI in Mathematics》以及 AGMAI 建议；Hao 等关于 AI 使用与科研题目范围缩窄的研究（arXiv:2412.07727）；Bastani 等关于 GPT-4 辅导的随机实验；Filippucci 等的 OECD 研究及 Jones 的经济学分析；Deloitte 关于数学科学经济价值的报告；XTX 资助、AI for Math Fund、西蒙斯基金会计划；英国数学科学院关于支撑 AI 的数学科学的入门报告；美国数学会 2024 年五篇白皮书，分别涉及数学职业、大学数学教育、科学政策、出版，以及公平、多样性与包容；伦敦数学会、欧洲数学会、法国数学会、意大利数学联盟等对 2026 年纳维—斯托克斯公告的回应。这批资料共同说明：研究结果越来越容易产生之后，信任、归功、教育、公平和公共治理不会自动随之产生，也必须有人专门建设。