是的，我可以使用中文进行交流。请问有什么我可以帮助您的问题吗？
(Yes, I can communicate in Chinese. What can I help you with?)

为了让我写出来的字尽可能地贴近真实的字，我使用了万能函数拟合器来进行从 $\mathbf X$ 到 $\mathbf z$ 的编码 (encode) 和从 $\mathbf z$ 到 $\tilde{\mathbf X}$ 的解码 (decode)，只要让 $l=\left \| \mathbf X-\tilde{\mathbf X} \right \|^{2}$ 作为损失函数，也就是两个向量之间距离的平方，反向传播让他变得尽可能小，拟合的结果就越接近，我生成的 $\tilde{\mathbf X}$ 就与你的字 $\mathbf X$ 十分接近了。
但是，如果我随机生成一个向量 $\mathbf z_i$ ，把他通过解码，生成字符，却往往没有什么意义。很简单，一个随机乱摆的手势，能写出什么字！只有少数情况运气好，才能写出有意义的字来。而且这样子解码，一个手势只能对应一个字，每次写的都一模一样，完全固定死了！
然后，我发现，只有一些特定的手势才能生成出有意义的字。而我用来训练解码器的样本是极为有限的，只能对很小一部分 $\mathbf z$ 有响应。那么为什么不给 $\mathbf z$ 一个很简单的分布，将采样空间缩小呢？这样，有意义的手势就聚集在一起了。
于是我假设，手势服从正态分布， $\mathbf{z}\sim N(0,\mathbf{I})$ ，I 即单位矩阵，这是一个各维度独立的多元的正态分布。注意，一个维度往往代表了一个特征，比如手横着一划，或者竖着一划。但是我希望各个特征能够分开，而不是纠缠在一起，比如你写横的时候总会慢慢加重，最后收尾会有一顿，我希望一横和一顿是分开来的两个特征，而不是一边横一边顿被算做了同一个特征，因此要保证正态分布的各个维度独立，方差矩阵是一个对角化的矩阵。那么我现在在 $ p(\mathbf{z})$ 中取样得到 $\mathbf{z_i}$ 。同样，我可以得到一个条件分布 $ p(\mathbf{X}|\mathbf{z_i})$ ，也就是已知手势的时候，可以解码得出的字符集的概率分布。简单说来，同一个手势总是对应同一个字 $\mathbf{X}$ ，但是这些字的字形往往不同。现在我从这个条件分布中取样得到一个 $\mathbf{X_i}$ ，他仍然属于那个字 $\mathbf{X}$ ，但是写出来的形状就有所不同，就是我要生成的字啦！
我继续假设，给定任意 $\mathbf{z_i}$ 以后， $\mathbf{X}$ 都满足各个维度独立的多元正态分布。
$ p_{}(\mathbf{X}|\mathbf{z_i})= N(\mathbf{X}|\mu_{i}(\mathbf{z_i}),\sigma_{i}^{2}(\mathbf{z_i})\mathbf{I})$
那么该如何求这个 $ p(\mathbf{X}|\mathbf{z_i})$ 呢？答案是用万能函数拟合器来拟合。设万能函数拟合器的各个参数，如权重，偏置，合起来记为 $\theta$ ，那么就可以得到
$ p_{\theta}(\mathbf{X}|\mathbf{z_i})= N(\mathbf{X}|\mu_{i}'(\mathbf{z_i};\theta),\sigma_{i}'^{2}(\mathbf{z_i};\theta)\mathbf{I})$
这样，我只要输入 $\mathbf{z_i}$ 到解码器，就可以得到 $\mathbf{\mu_i'}$ 和 $\mathbf{\sigma_i'}$ ，然后就只要到根据这两个参数确定的正态分布里去取样就行了！实际应用中，往往懒得进行采样，而直接输出均值 $\mathbf{\mu_i'}$ ，不需要 $\mathbf{\sigma_i'}$ ，就是一个有效的字符了。既然不需要 $\mathbf{\sigma_i'}$ ，我就再偷点懒，进一步假设 $ p_{\theta}(\mathbf{X}|\mathbf{z_i})$ 各个维度的方差都是固定的， $\mathbf{\sigma_i'}$ 是看我心情选择的固定的超参数，这样就更方便了。

我的全局的最终目标是什么呢？是想得到一个与真实分布 $ p(\mathbf{X})$ 尽可能接近的分布 $ p_{\theta}(\mathbf{X})$ ，也就是全体字符集在空间中的概率分布。在 $ p_{\theta}(\mathbf{X=X_{i}})$ 比较大的地方，这个 $ \mathbf{X_{i}}$ 很有可能是一个真实的字符！之前已经可以得到 $p_{\theta}(\mathbf{X}|\mathbf{z})$ 和 $p_{}(\mathbf{z})$ ，那么我就可以使用全概率公式，得到
$p_{\theta}(\mathbf{X})=\int_{\mathbf{z} }^{} p_{\theta}(\mathbf{X}|\mathbf{z})p_{}(\mathbf{z}) d\mathbf{z}$
我不可能做这个积分，因为这需要无穷多的 $p_{\theta}(\mathbf{X}|\mathbf{z})$ ，所以退而求其次，采大量的样本，来近似计算这个积分。
$p_{\theta}(\mathbf{X})=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} p_{\theta}(\mathbf{X}|\mathbf{z_i})$
现在用一下概率统计的知识来确定 $\theta$ ，什么情况下，这个我观察到的这个字符集出现的概率最大？我选择最似然估计。
写出似然函数的对数
$
\begin{align}
\ln L(\theta) & = \sum_{j = 1}^{m} \ln{p_{\theta}(\mathbf{X_j})}
\&=\sum_{j = 1}^{m} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n}\ln{p_{\theta}(\mathbf{X_j}|\mathbf{z_i})}
\end{align}
$
那么我的 $\theta^{*}$ 就应该是
$
\theta^{}=arg\underset{\theta}{max} \sum_{j = 1}^{m} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n}\ln{p_{\theta}(\mathbf{X_j}|\mathbf{z_i})}
$
由于损失函数都是求最小值，所以我改写一下上式
$
\theta^{}=arg\underset{\theta}{min} -\sum_{j = 1}^{m} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n}\ln{p_{\theta}(\mathbf{X_j}|\mathbf{z_i})}
$
我确实可以这么做，但是 $\mathbf X_i$ 和 $\mathbf z_i$ 的维度都不会很小，想要还原成一个比较准确的分布 $p_{\theta}(\mathbf{X})$ ，依然需要极大量的样本，来获取各个维度所包含的特征，否则效果可能会很差。从实践角度来说，这几乎是行不通的。
但是，仔细想想，我之前已经有一个从你写的有意义的字 $\mathbf X_j$ 到 $\mathbf z_j$ 的编码过程了！从一个字，我可以编码出一系列手势，这些手势往往都是有意义的！这样我获得的样本都有意义，就可以减少需要的样本量了。也就是说，我可以获得 $p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{X_i})$ ，那么 $p_{\theta}(\mathbf{X})$ 就可以写成
$
\begin{align}
p_{\theta}(\mathbf{X})&=\int_{\mathbf{z} }^{} p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{X})p_{\theta}(\mathbf{X})d\mathbf{z}\&=\int_{\mathbf{z} }^{} p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{X})\frac{p_{\theta}(\mathbf{X,z})}{p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{X})}d\mathbf{z}
\end{align}
$
虽然看起来还没什么意义，但是让我来看一看怎么求这个 $p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{X_i})$ 吧。
$
\begin{align}
p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{X_i})&=\frac{p_{\theta}(\mathbf{X_i,z})}{p_{\theta}(\mathbf{X_i})} \&=\frac{p_{\theta}(\mathbf{X_i}|\mathbf{z})p_{}(\mathbf{z}) }{p_{\theta}(\mathbf{X_i})}
\end{align}
$
我发现，又有
$p_{\theta}(\mathbf{X_i})=\int_{\mathbf{z} }^{} p_{\theta}(\mathbf{X_i}|\mathbf{z})p_{}(\mathbf{z}) d\mathbf{z}$
这个讨厌的积分又出现了！前面颠来倒去的不知道在写什么，完全是转了一圈又回来了！
然后我想到，为什么不用万能函数拟合器来拟合这个 $p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{X_i})$ 呢？既然已经有了 $p_{\theta}(\mathbf{X}|\mathbf{z})$ 和 $p_{}(\mathbf{z})$ 都是正态分布，那么容易证明， $p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{X_i})$ 也应该是正态分布！那么我们就可以用编码器来拟合
$p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{X_i}) ≈q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X_i})=N(\mathbf{z}|\mu_{i}''(\mathbf{X_i};\phi),\sigma_{i}''^{2}(\mathbf{X_i};\phi)*\mathbf{I})$
这样，编码过程我最后让编码器输出 $\mu_{i}''$ 和 $\sigma_{i}''$ 就可以了。然后就在由 $\mu_{i}''$ 和 $\sigma_{i}''$ 确定的正态分布中取样得到 $\mathbf{z_{i}}$ ，之后就是刚才说过的解码过程了。

你的理解是正确的。所以我采用了一种叫重参数化 (reparameterization) 的技巧。有了 $\mu_{i}''$ 和 $\sigma_{i}''$ 以后，我不直接采样，而是采用特定的规则生成 $\mathbf{z_{i}}$ 。
$ \mathbf{z_{i}}=\mu_{i}''+\sigma_{i}''\odot \epsilon_i, \epsilon\sim N(0,\mathbf{I})$
$\odot$ 表示逐元素相乘。
很显然，现在 $\mathbf{z_{i}}$ 依然服从正态分布，而且随机的部分化为了一个参数 $\epsilon$ ，对 $\mu_{i}''$ 和 $\sigma_{i}''$ 就又可以求导了，这样反向传播就得以进行了。

对了，我们再回过头来看这个 $p_{\theta}(\mathbf{X})$ ，直接对他求一次对数，得到
$
\begin{align}
\ln p_{\theta}(\mathbf{X})&=\int_{\mathbf{z} }^{} q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X})\ln p_{\theta}(\mathbf{X})d\mathbf{z}\&=\int_{\mathbf{z} }^{} q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X})\ln \frac{p_{\theta}(\mathbf{X,z})}{p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{X})}d\mathbf{z}
\&=\int_{\mathbf{z} }^{} q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X})\ln \frac{p_{\theta}(\mathbf{X,z})q_{\phi}(\mathbf{X,z})}{q_{\phi}(\mathbf{X,z})p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{X})}d\mathbf{z}
\&=\int_{\mathbf{z} }^{} q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X})\ln \frac{p_{\theta}(\mathbf{X,z})}{q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X})}d\mathbf{z}+\int_{\mathbf{z} }^{} q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X})\ln \frac{q_{\phi}(\mathbf{X,z})}{p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{X})}d\mathbf{z}
\end{align}
$
这么写，是因为第二项就是 KL 散度！然后再改写一下
$
\begin{align}
\ln p_{\theta}(\mathbf{X})
&=l(p_{\theta},q_{\phi})+D_{KL}(q_{\phi},p_{\theta})
\end{align}
$
就得到
$
\begin{align}
l(p_{\theta},q_{\phi})
&=-D_{KL}(q_{\phi},p_{\theta})+\ln p_{\theta}(\mathbf{X})
\end{align}
$
我们知道，KL 散度是恒大于等于 0 的，因此这个 $l(p_{\theta},q_{\phi})$ 就是 $\ln p_{\theta}(\mathbf{X})$ 的下界。之前我已经得到似然函数的对数 \ln L(\theta) = \sum_{j = 1}^{m} \ln{p_{\theta}(\mathbf{x_j})} $ ，要让他最大化，那么就要让 $\ln p_{\theta}(\mathbf{X}) 最大化。显然，我同时也希望 $q_{\phi}$ 能尽可能地逼近 $p_{\theta}$ ，也就是他们的 KL 散度最小化。两者一结合，就是 $l(p_{\theta},q_{\phi})$ 最大化！
现在来求怎么使 $l(p_{\theta},q_{\phi})$ 最大化：
$
\begin{align}
l(p_{\theta},q_{\phi})&=\int_{\mathbf{z} }^{} q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X})\ln \frac{p_{\theta}(\mathbf{X,z})}{q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X})}d\mathbf{z}
\&=\int_{\mathbf{z} }^{} q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X})\ln \frac{p_{\theta}(\mathbf{X|z})p(\mathbf{z})}{q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X})}d\mathbf{z}
\&=\int_{\mathbf{z} }^{} q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X})\ln \frac{p(\mathbf{z})}{q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X})}d\mathbf{z}+\int_{\mathbf{z} }^{} q_{\phi}(\mathbf{z|X})\ln p_{\theta}(\mathbf{X|z})d\mathbf{z}
\&=-D_{KL}(q_{\phi},p)+\mathbb{E}{q{\phi}}(\ln p_{\theta}(\mathbf{X|z}))
\end{align}
$
实际上，由于我已经假设了 $p(\mathbf{z})$ 和 $q_{\phi}(\mathbf{z|X})$ 的正态分布， $D_{KL}(q_{\phi},p)$ 其实是可以算出解析解的！
先简单考虑一维的时候，
$
\begin{align}
D_{KL}(q_{\phi},p)
&=\int_{\mathbf{z} }^{} q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X})\ln \frac{q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X})}{p(\mathbf{z})}d\mathbf{z}
\&=\int_{\mathbf{z}} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ''^{2}}} e^{-\frac{(\mathbf{z}-\mu'')^2}{2\sigma''^2} }
\ln \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ''^{2}}} e^{-\frac{(\mathbf{z}-\mu'')^2}{2\sigma''^2} }}
{\frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{\mathbf{z}^2}{2} }} d\mathbf{z}
\&=\int_{\mathbf{z}} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ''^{2}}} e^{-\frac{(\mathbf{z}-\mu'')^2}{2\sigma''^2} }
(-\frac{(\mathbf{z}-\mu'')^2}{2\sigma''^2}+\frac{\mathbf{z}^2}{2}-\ln \sigma '' )d\mathbf{z}
\&=\frac{1}{2}(-1+\sigma''^2+\mu''^2-\ln \sigma''^2)
\end{align}
$
由于各个维度独立，我们可以得到
$
\begin{align}
D_{KL}(q_{\phi},p)
&=\sum_{i=1}^{d} \frac{1}{2}(-1+\sigma''^{(i)2}+\mu''^{(i)2}-\ln \sigma''^{(i)2})
\end{align}
$
d 为总维度数， $\mu''^{(i)}$ 表示向量 $\mu''$ 的第 i 个分量。
最后，我只需要求 $\mathbb{E}_{q_{\phi}}(\ln p_{\theta}(\mathbf{X|z}))$ 这一项了！现在，由于我们是在 $q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X_i})$ 中对 $\mathbf{z_i}$ 进行采样的，由于 $q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{X_i})$ 很快就会接近真实的分布 $p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{X_i})$ ，所以我很容易就能取到与 $\mathbf{X_i}$ 相关联的 $\mathbf{z_i}$ ，那么我就可以推出一个比较接近真实情况的分布。所以，现在就可以用采样来近似计算这个积分了。
$
\begin{align}
\int_{\mathbf{z} }^{} q_{\phi}(\mathbf{z|X})\ln p_{\theta}(\mathbf{X|z})d\mathbf{z}≈\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln p_{\theta}(\mathbf{X|z_i})
\end{align}
$
我还知道， $ \ln p_{\theta}(\mathbf{X|z_i})$ 满足一个 k 维的各变量独立的正态分布（设每个字形 $\mathbf{X_i}$ 的维度为 k），
$
\begin{align}
\ln p_{\theta}(\mathbf{X|z_i})&=\ln (\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k |\sigma '|}} e^{-\frac{1}{2}(\mathbf{X}-\mathbf{\mu'})^T\sigma '^{-1}(\mathbf{X}-\mathbf{\mu'}) } )
\&=-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{k} \frac{(\mathbf{X}^{(i)}-\mu'^{(i)})^2}{\sigma'^{(i)}}
-\frac{1}{2}(k\ln (2\pi)+\sum_{i=1}^{k}\ln\sigma'^{(i)})
\end{align}
$
万事俱备，就可以来求损失函数了。
令损失函数
$
\begin{align}
\mathcal{L}&=-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}l(p_{\theta},q_{\phi})
\&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} D_{KL}(q_{\phi},p)-\frac{1}{nm}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\ln p_{\theta}(\mathbf{X_i|z_j})
\end{align}
$
我在实践中发现，对一个特定的字形 $\mathbf{X_i}$ 只要采样一个手势 $\mathbf{z_i}$ ，就能达到比较好的效果了。那么令 $m=1$
$
\begin{align}
\mathcal{L}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} D_{KL}(q_{\phi},p)-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln p_{\theta}(\mathbf{X_i|z_i})
\&=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{d} \frac{1}{2}(-1+\sigma_{j}''^{(i)2}+\mu_{j}''^{(i)2}-\ln \sigma_{j}''^{(i)2})
-\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{k} \frac{(\mathbf{X_{j}}^{(i)}-\mu_{j}'^{(i)})^2}{\sigma_{j}'^{(i)}}
-\frac{1}{2}(k\ln (2\pi)+\sum_{i=1}^{k}\ln\sigma_{j}'^{(i)}) )
\end{align}
$
完全的常数项没有意义，可以直接舍去。而 $\mathbf{\sigma_i'}$ 是看我心情选的超参数，那我为了方便，就令 $\mathbf{\sigma_i'}$ 的每一个元素都为 $\frac{1}{2}$ ,那么损失函数就可以进一步简化为
$
\begin{align}
\mathcal{L}&=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{d} \frac{1}{2}(-1+\sigma_{j}''^{(i)2}+\mu_{j}''^{(i)2}-\ln \sigma_{j}''^{(i)2})
+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left | \mathbf{X_{i}}-\mu_{i}' \right | ^2
\end{align}
$
然后发现，这个第二项有点眼熟，就是一开始算损失函数的两个向量之间的距离！所以现在的损失函数，就相当于加上了前一项的修正项 (这一项通常称为 Regularization Term，而后一项称为 Reconstruction Loss)。现在，一切的原理都已经贯通了！我把它称之为 Virtual Artifact Emulator。