以下は、量子力学における可逆性と熱力学における不可逆性の間の矛盾を解決するための、物理学的な解釈をまとめたものです。この問題は、統計物理学の核心に関わるものであり、特に**開放系（開放量子系）や粗視化（Coarse-Graining）**の概念が重要です。
矛盾の本質
-
量子力学（可逆性）
- 量子力学における閉じた（孤立した）系は、ユニタリー演算子（幺正演算子）によって時間発展するため、エントロピー（フォン・ノイマン・エントロピー）は常に一定に保たれます。
- これは、シュレディンガー方程式の解が時間反転可能であり、全体系のエントロピーが変化しないことを意味します。
-
熱力学（不可逆性）
- 熱力学では、孤立系のエントロピーは常に増加する（$dS/dt \geq 0$）とされ、この性質は**時間の矢（Time Arrow）**を定義します。
- これは、熱平衡への自発的な進展や、エネルギーの低効率な伝達（熱の伝導、拡散など）を説明するために必要です。
解決の鍵：開放系と環境の役割
この矛盾は、真の孤立系が存在しないことに起因します。現実の系は常に環境と相互作用しており、その相互作用によって局所的なエントロピーの増加が生じます。以下の3つの観点から解釈できます。
1. 開放系と環境の量子エントロピー
全体系（System + Environment）のエントロピーは保存される
- 真の孤立系（全宇宙）のエントロピーは、ユニタリー演算によって常に一定です。
- しかし、子系（System）のみを見た場合、環境（Environment）との相互作用によって子系のエントロピーは増加することがあります。
具体的なメカニズム
- 初期状態：SystemとEnvironmentは非相関しており、全体系のエントロピーは子系のエントロピーと環境のエントロピーの和です：S_{\text{total}} = S(S) + S(E)
- 相互作用後：SystemとEnvironmentが**量子的に纏まり合う（Entangle）**と、全体系のエントロピーは不変ですが、子系のエントロピーは増加します：S(S) \leq S_{\text{total}} = S(S) + S(E)
- これは、子系のエントロピーが環境のエントロピーに“吸収”されることで生じます。
- 具体的には、子系の情報が環境に“流出”し、子系の密度行列が混合状態になるため、子系のエントロピーが増加します。
熱力学的エントロピーの増加
- 熱力学のエントロピーは、子系のエントロピーを指します。環境との相互作用によって、子系のエントロピーが増加することで、熱力学の不可逆性が説明されます。
- これは、**デコヒーレンス（Decoherence）**と呼ばれる現象と密接に関連しています。デコヒーレンスは、量子系が環境と相互作用することで、量子干渉が失われ、古典的な混合状態に移行する過程です。
2. 粗視化（Coarse-Graining）
微視的な可逆性 vs 宏視的な不可逆性
- 量子力学のエントロピーは、微視的な自由度を考慮した精密な量です。
- 熱力学のエントロピーは、宏視的な自由度のみを考慮した粗視化された量です。
具体的な例
- 微視的な状態：100個の分子の位置と速度をすべて追跡する。
- 宏視的な状態：温度や圧力のみを観測する（微視的な情報を無視する）。
- 微視的な状態は可逆的に進展するが、宏視的な状態は不可逆的に見える。
粗視化エントロピーの増加
- 粗視化によって、微視的な可逆性が宏視的な不可逆性に見える化します。
- 具体的には、系が相空間の広い領域を探索することで、粗視化エントロピーが増加します。
3. 本質状態熱化仮説（ETH: Eigenstate Thermalization Hypothesis）
孤立系の熱平衡化
- ETHは、孤立系が熱平衡状態に近づく過程を説明する仮説です。
- 具体的には、孤立系の高エネルギー準位は、局所的な子系に対して熱平衡の性質を示します。
- これは、孤立系が熱的な性質を持つことを意味します。
エントロピーの増加
- 初期の非平衡状態から、ETHが成立する領域への進展は、エントロピーの増加を伴います。
- これは、孤立系が熱平衡状態に近づく過程で、局所的なエントロピーが増加することを示しています。
まとめ：不可逆性の起源
- 開放系の相互作用：環境との相互作用によって、子系のエントロピーが増加する。
- 粗視化：微視的な可逆性が、宏視的な不可逆性に見える化される。
- ETH：孤立系が熱平衡状態に近づく過程で、局所的なエントロピーが増加する。
これらの要素を組み合わせることで、量子力学の可逆性と熱力学の不可逆性の間の矛盾が解決されます。熱力学のエントロピーの増加は、子系のエントロピーが環境との相互作用によって増加すること、または粗視化によって生じる現象です。
具体的な例：熱の伝導
- 微視的な描像：分子の運動は可逆的（シュレディンガー方程式に従う）。
- 宏視的な描像：熱が低温から高温へ自発的に流れる（不可逆）。
- これは、環境（周囲の空気など）との相互作用によって、子系（熱い物体）のエントロピーが増加するためです。
結論
- 量子力学：全体系のエントロピーは保存される（可逆）。
- 熱力学：子系のエントロピーは増加する（不可逆）。
- 解決：子系が環境と相互作用することで、子系のエントロピーが増加するため、熱力学の不可逆性が説明される。
