计算最优坍缩位置方法

这里是我之前回答的时候说错了，矩阵 $K$ 是半正定而非正定的，非常抱歉。下面放一小段证明以便理解，感兴趣可以看一下。

我们首先回顾一下，面片的二次误差矩阵是 $K_f=\mathbf{v}\mathbf{v}^T$ ，而向量 $\mathbf{v}=(a, b, c, d)^T$ 对应着面片所在平面 $ax+by+cz+d=0$ 的法向量（但比法向量多了一维）。计算点 $\mathbf{u}=(x, y, z, 1)$ 二次误差的公式

\text{cost}=(\mathbf{v}^T\mathbf{u})^2 =\mathbf{u}^T\mathbf{v}\mathbf{v}^T\mathbf{u} =\mathbf{u}^TK_f\mathbf{u}

中， $\mathbf{v}^T\mathbf{u}$ 是一个内积，展开写就是 $ax+by+cz+d$ ，不难发现该内积和点到平面的距离

\text{distance}=\frac{|ax+by+cz+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

之间只差了一个系数 $1/\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ，所以 cost 的含义就是距离的平方。而当我们实际计算的时候，所用的向量 $\mathbf{v}$ 直接来自面片的法向量（已经单位化过），所以 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1$ ，cost 就直接等于 distance 了。根据几何直观，一点到平面距离的平方总是大于等于零的，因此矩阵 $K_f$ 是对称半正定的。

由于顶点的二次误差矩阵 $K_v$ 是若干半正定矩阵 $K_f$ 之和，所以 $K_v$ 是半正定的。同理可得，边的二次误差矩阵 $K$ 也是半正定的。